华东师大初中数学九年级上册《图形的相似》全章复习与巩固-- 知识讲解(基础)(精选)

《图形的相似》全章复习与巩固--知识讲解(基础)

【学习目标】

1、了解比例的基本性质,线段的比、成比例线段;

2、通过实例认识图形的相似,探索相似图形的性质,理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方,探索并掌握相似三角形的判定方法,并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题; 3、掌握三角形中位线以及梯形中位线、三角形重心的定义、性质及应用;

4、相似图形性质和判定方法的探索和证明,进一步培养推理能力,发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力,以及综合运用知识的能力,运用学过的知识解决问题的能力. 【知识网络】

【要点梳理】

要点一、相似图形及比例线段

1.相似图形:在数学上,我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 要点诠释:

(1) 相似图形就是指形状相同,但大小不一定相同的图形;

(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况,即当“形状相同”且“大小相同”时,两 个图形全等; 2.相似多边形

如果两个多边形的对应角相等,对应边的比相等,我们就说它们是相似多边形. 要点诠释:

(1)相似多边形的定义既是判定方法,又是它的性质. (2)相似多边形对应边的比称为相似比.

3. 比例线段:对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等,如a:b=c:d,我们就说这四条线段是成比例线段,简称比例线段. 要点诠释:

(1)若a:b=c:d ,则ad=bc;(d也叫第四比例项) (2)若a:b=b:c ,则b =ac(b称为a、c的比例中项). 要点二、相似三角形 1. 相似三角形的判定: 判定方法(一):如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似. 要点诠释:

2

要判定两个三角形是否相似,只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可,对于直角三角形而言,若有一个锐角对应相等,那么这两个三角形相似. 判定方法(二):如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似. 要点诠释:

此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似,应用时必须注意这个角必须是两边的夹角,否则,判断的结果可能是错误的. 判定方法(三): 如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似. 2. 相似三角形的性质:

(1)相似三角形的对应角相等,对应边的比相等; (2)相似三角形中的重要线段的比等于相似比;

相似三角形对应高,对应中线,对应角平分线的比都等于相似比. 要点诠释:要特别注意“对应”两个字,在应用时,要注意找准对应线段. (3) 相似三角形周长的比等于相似比;

(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方。 3.相似多边形的性质:

(1)相似多边形的对应角相等,对应边的比相等. (2)相似多边形的周长比等于相似比.

(3)相似多边形的面积比等于相似比的平方. 要点三、中位线

1.三角形的中位线:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 性质:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半. 要点诠释:(1)三角形有三条中位线,每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. (2)三角形的三条中位线把原三角形分成全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的

11,每个小三角形的面积为原三角形面积的. 24(3)三角形的中位线不同于三角形的中线.

2.梯形的中位线:连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线. 性质:梯形的中位线平行于两底,且等于两底和的一半.

3.三角形的重心概念:三角形三条边上的中线交于一点,这个点就是三角形的重心. 性质:重心与一边中点的连线的长是对应中线长的

1. 3要点四、位似

1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一

点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心.

2.位似图形的性质:

(1)位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上;

(2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比; (3)位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 要点五、图形与坐标

根据已知条件,建立适当的平面直角坐标系,是确定点的位置的必经过程,只有建立了适当的直角坐标系,点的位置才能得以确定,才能使数与形有机地结合在一起. 利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况的过程:

(1)建立坐标系,选择一个适当的参照点为原点,确定x轴,y轴的正方向; (2)根据具体问题确定适当的比例尺,在坐标轴上标出单位长度;

(3)在坐标平面内画出这些点,写出各点的坐标和各个地点的名称. 1.点的平移:

在平面直角坐标系中,将点(x,y)向右或向左平移a个单位长度,可以得到对应点(x+a,y)或(x-a,y);将点(x,y)向上或向下平移b个单位长度,可以得到对应点(x,y+b)或(x,y-b). 要点诠释:

(1)在坐标系内,左右平移的点的坐标规律:右加左减; (2)在坐标系内,上下平移的点的坐标规律:上加下减;

(3)在坐标系内,平移的点的坐标规律:沿x轴平移纵坐标不变,沿y轴平移横坐标不变. 2.图形的平移:

在平面直角坐标系内,如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度;如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度. 要点诠释:

(1)平移是图形的整体位置的移动,图形上各点都发生相同性质的变化,因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决.

(2)平移只改变图形的位置,图形的大小和形状不发生变化. 【典型例题】

类型一、相似图形及比例线段

1. (2016?崇明县一模)如图,已知AD∥BE∥CF,它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F,

,AC=14;

(1)求AB、BC的长;

(2)如果AD=7,CF=14,求BE的长.

【思路点拨】(1)由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出

,即可求出AB的

长,得出BC的长;

(2)过点A作AG∥DF交BE于点H,交CF于点G,得出AD=HE=GF=7,由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH,即可得出结果. 【答案与解析】 解:(1)∵AD∥BE∥CF, ∴

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