全等三角形几种类型总结

全等三角形与角平分线

全等图形:能够完全重合的两个图形就是全等图形. 全等多边形: 能够完全重合的多边形就是全等多边形.

相互重合的顶点叫做对应顶点,相互重合的边叫做对应边,相互重合的角叫做对应角. 全等多边形的对应边、对应角分别相等.

如下图,两个全等的五边形,记作:五边形ABCDE≌五边形A'B'C'D'E'. 这里符号“≌”表示全等,读作“全等于”.

AEA'E'BCD

全等三角形:能够完全重合的三角形就是全等三角形.

C'B'D'全等三角形的对应边相等,对应角分别相等;

反之,如果两个三角形的边和角分别对应相等,那么这两个三角形全等. 全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等.

全等三角形的概念与表示:能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形.能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角.全等符号为“≌”.

全等三角形的性质:对应角相等,对应边相等,对应边上的中线相等,对应边上的高相等,对应角的角平分线相等,面积相等.

寻找对应边和对应角,常用到以下方法:

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边. (2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角. (3)有公共边的,公共边常是对应边. (4)有公共角的,公共角常是对应角. (5)有对顶角的,对顶角常是对应角. 全等三角形的判定方法:

(1) 边角边定理(SAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. (2) 角边角定理(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. (3) 边边边定理(SSS):三边对应相等的两个三角形全等.

(4) 角角边定理(AAS):两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. (5) 斜边、直角边定理(HL):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.

判定三角形全等的基本思路:

? 找夹角?SAS?已知两边? 找直角?HL

? 找另一边?SSS?? 边为角的对边→找任意一角→AAS?? 找这条边上的另一角→ASA? 已知一边一角?? 边就是角的一条边 找这条边上的对角→AAS??? 找该角的另一边→SAS???? 找两角的夹边?ASA已知两角?

找任意一边?AAS?

全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式:

⑴ 平移全等型

⑵ 对称全等型

⑶ 旋转全等型

由全等可得到的相关定理:

⑴ 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. ⑵ 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上.

⑶ 等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角). ⑷ 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合.

⑸ 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等⑹ 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.

⑺ 和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.

与角平分线相关的问题

角平分线的两个性质:

⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等; ⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 它们具有互逆性.

角平分线是天然的、涉及对称的模型,一般情况下,有下列三种作辅助线的方式: 1. 由角平分线上的一点向角的两边作垂线,

2. 过角平分线上的一点作角平分线的垂线,从而形成等腰三角形, 3. OA?OB,这种对称的图形应用得也较为普遍,

AOBPAOBPOAPB

三角形中线的定义:三角形顶点和对边中点的连线

三角形中线的相关定理: 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半

等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合) 三角形中位线定义:连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半. 中位线判定定理:经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边. 中线中位线相关问题(涉及中点的问题)

见到中线(中点),我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式),尤其是在涉及线段的等量关系时,倍长中线的应用更是较为常见.

例题精讲

板块一、全等三角形的认识与性质

【例1】 在AB、AC上各取一点E、D,使AE?AD,连接BD、CE相交于O再连结AO、BC,

若?1??2,则图中全等三角形共有哪几对?并简单说明理由.

BEA12OCD

【巩固】如图所示,AB?AD,BC?DC,E、F在AC上,AC与BD相交于P.图中有几对全等三

角形?请一一找出来,并简述全等的理由. BAEPFCD

板块二、三角形全等的判定与应用

【例2】 (2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试)如图,AC∥DE,BC∥EF,AC?DE.求证:

AF?BD.

EAFBDC

【例3】 (2008年宜宾市)已知:如图,AD?BC,AC?BD,求证:?C??D.

DOC

AB

【巩固】如图,AC、BD相交于O点,且AC?BD,AB?CD,求证:OA?OD.

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