“方程的根与函数的零点”的试教和正式教学及反思
1.理解函数零点的定义以及方程的根与函数的零点之间的联系，了解“函数零点存在” 的判断方法，对新知识加以应用。
2.渗透由特殊到一般的认识规律，提升学生的抽象和概括能力，领会数形结合、等数学思想。
3.认识函数零点的价值所在，使学生认识到学习数学是有用的；培养学生认真、耐心、严谨的数学品质；让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦。
【学习重点】 理解函数的零点与方程根的关系，初步形成用函数观点处理问题的意识。函数零点存在性定
理的理解及初步应用。
【学习难点】 函数零点存在性定理的理解及初步应用。 【学习方法1】 自学、发现、合作、探究、演练相结合。 【学习过程】（试教课）
（一）学前准备
1、某电冰箱内通电前的温度是25℃，通电2小时后的温度是-7℃ ．在这段时间内，假设温度是均匀变化的，问：1）是否存在某时刻的温度为0℃？
2）你能从数学的角度来解释这一现象吗？3）能计算出具体的时刻吗？
（设计意图：当温度均匀变化时，温度随时间的变化图是一条直线，学生能够根据已知条件发现直线一定与x轴相交，求出相应函数的解析式，最终得出一次函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系，为一般函数及相应方程关系作准备．）
2
2、解方程（同桌比赛）：①6x－1=0 ；②3x＋6x－1=0 。
5
再比赛解3x＋6x－1=0 。
【学习方法2】 自学、发现、探究、演练相结合。（删去合作，突出自学。） 【学习过程】（正式上课）
（一）激疑引入：生活中许多实际问题需要方程知识求解，一元二次是否有根我们可以用判别式判断，如
3
何判断更复杂的方程是否有根？如：x+3x-1=0是否有根？
（设计意图：单刀直入点题） （二）自学释疑，研讨新知
1、带着以下问题阅读87页第8段到88页例1之前。
（1）怎样求函数的零点？函数零点是不是一个点？零点是不是f(0)？
（2）对于第88页的零点存在性定理，思考：
①如果函数图象不是“连续不断”的，结论还成立吗？试作图说明。
学生无法解答，产生疑惑。现在人们已经知道：一次方程、二次方程、三次方程、四次方程的解都可以通过系数的四则运算，乘方与开方等运算来表示，但高于四次的方程一般不能用公式求解，1824年才由阿贝尔（挪威）证明了五次及高于五次的一般代数方程没有的根式解，1828年伽罗瓦（法国）证明了存在不能用开方运算求解的具体方程，开辟了近世代数学的群论。
人们一直在研究方程的近似解方法，值得一提的是，早在十三世纪的中国，秦九韶等数学家就提出了高次方程数值解的解法…… （二）互动交流，研讨新知
1、学生自学86页到88页，记下疑惑摘要。
2、总结一元二次方程与相应函数图像与x轴的交点及其坐标的关系：
??0 判别式△ ??0??02=b－4ac 一元二次方 2程ax +bx+c=0(a≠0)根的个数 二次函数 2y= ax +bx+c(a≠0)图象与x轴交点个数 二次函数 图象与x轴 交点坐标 ②条件“f?a?f?b??0”舍去后，函数y?f?x?在区间?a,b?上一定没有零点吗？一定有零点吗？试作图说明。
③若f?a?f?b??0，函数y?f?x?在区间在?a,b?上只有一个零点吗？可能有几个？试作图说明。
（设计意图：带着重点、难点问题阅读自学，培养阅读中思考、质疑能力。指导学生自学定理可从训练学生找出定理的条件、结论入手，分析定理的使用环境及证题的类型，尤其注意条件的严密性，引导学生关注若有条件减弱会有什么结果。） （三）形成概念，初步理解定理
1、函数零点概念
对于函数y?f?x?，把使f?x??0的实数x叫做函数y?f?x?的 。 2、方程的根与函数零点的关系 方程f?x??0有实数根函数函数y?f?x?有
以上关系说明：函数与方程有着密切的联系，从而有些方程问题可以转化为相应函数问题来求解，同样，函数问题有时也可转化为相应方程问题．这正是函数与方程思想的基础．
（设计意图：回顾二次函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系，为一般函数及相应方程关系作准备。）
推广：二次函数可以通过根的判别式△来判断它的与x轴交点情况，一般函数呢？ （设计意图：通过各种函数，将结论推广到一般函数。）
y?f?x?的图象与x轴
x23、请看在《几何画板》下展示如下函数的图象：y?x?1?x?2??2x?6?、y?2?8、
??y?ln?x?2?，探索函数图象与x轴的交点和相应方程的根之间的关系。
3、给出零点存在性定理：如果函数y?f?x?在区间?a,b?上的图象是连续不断一条曲线，并且有 4、函数零点概念
对于函数y?f?x?，把使f?x??0的实数x叫做函数y?f?x?的 。 思考：函数零点是不是一个点？零点是不是f(0)？ 5、方程的根与函数零点的关系 方程f?x??0有实数根函
函数y?f?x?有
以上关系说明：函数与方程有着密切的联系，从而有些方程问题可以转化为相应函
3、给出零点存在性定理：如果函数y?f?x?在区间?a,b?上的图象是连续不断一条曲线，并且有
f?a?f?b??0，那么，函数y?f?x?在区间?a,b?内有零点。即存在c??a,b?，使
数y?f?x?的图象与x轴
得f?x??0，这个c也就是方程f?x??0的根。
（设计意图：先让学生复述，再概括，既检查自学效果，又强化本节重难点。）
（四）应用探究，巩固深化
1.已知函数f (x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表，则函数在哪几个区间内必定有零点？为什么？ x 1 f (x) 20
2 3 4 6 5 18 6 -3 -5.5 -2 2.函数f (x)=x-7x-1在区间[-4，4]上是否存在零点？
3.方程x+3x-1=0是否有根？
（设计意图：本题教师板书解答过程，为后进学生顺利应用定理解答提供示范。）
3
4.方程x+3x-1=0有几个根？你能证明吗？
（设计意图：这四个问题逐层递进，引导学生多角度领会函数的零点及其存在定理的应用。）
数问题来求解，同样，函数问题有时也可转化为相应方程问题．这正是函数与方程思想的基础．
6、变式探讨
某电冰箱内通电前的温度是25℃，通电2小时后的温度是-7℃ ．在这段时间内，温度是不均匀变化的，
3
3
问：是否仍存在某时刻的温度为0℃？
（设计意图：通过类比得出零点存在性定理,此刻体现变式教学。）
7、给出零点存在性定理：如果函数y?f?x?在区间?a,b?上的图象是连续不断一条曲线，并且有
f?a?f?b??0，那么，函数y?f?x?在区间?a,b?内有零点。即存在c??a,b?，使
得f?c??0，这个c也就是方程f?x??0的根。
8、深入探究
问题1. 如果函数图象不是连续不断的，结论还成立吗？ 试作图说明。
问题2.若f?a?f?b??0，函数y?f?x?在区间?a,b?上一定没有零点吗？一定有零点吗？试作图说明。 问题3.若f?a?f?b??0，函数y?f?x?在区间在?a,b?上只有一个零点吗？可能有几个？试作图说明。 问题4.在满足定理的条件下，能否增加条件,可使函数y?f?x?在区间在?a,b?上只有一个零点？作图说明。
5.函数f?x??x3?7x?6在区间[-4，4]上是否存在零点？若存在零点,能确定零点的个数及大小吗? (设计意图:本题比较灵活，既可以用零点存在定理，又可以转化为方程、因式分解后求根。目的有二：一是通过确定零点的大小，体会一分为二的思想，为下一节二分法做铺垫；二是再次体会方程函数的转化思想。)
（五）归纳整理，整体认识
1.知识小结：学了函数零点的概念后，我们就可以通过函数的图象和性质，用零点存在定理判定函数的零点是否存在来判断高次方程以及其它复杂方程的根是否存在，这就使方程的求解与函数的变化形成联系，有利于分析问题的本质。
2.思想方法小结：数形结合思想，方程与函数转化思想。 （六）作业与课外活动
作业：
1、课本 P88 练习1 。
2、试判断：方程y=-x-3x+5是否有根？有几个根？试说明理由。 课外参考活动：
1）在满足定理的条件下，能否增加条件,可使函数 y=f(x)在区间[a,b]上只有一个零点。试作图说明。 2）一般地，低于四次的方程的解都可以通过系数的四则运算，乘方与开方等运算来表示，但高于四次的方
(设计意图：函数零点存在的判定结论，是函数在某区间上存在零点的充分不必要条件，但零点的个数需结合函数的单调性等性质进行判断。结论的逆命题不成立，通过四个问题使学生准确理解零点存在性定理。)
（三）应用探究，巩固深化
1.已知函数f (x)的图象是连续不
断的，且有如下对应值表，则函数在哪几个区间内必定有零点？为什么？
3
x f (x) 1 20 2 3 4 6 5 18 6 -3 -5.5 -2
2.函数f?x??x3?7x?6在区间[-4，4]上是否存在零点？若存在零点,能确定零点的个数及大小吗? (设计意图:本题比较灵活，既可以用零点存在定理，又可以转化为方程、因式分解后求根。目的有二：一是通过确定零点的大小，体会一分为二的思想，为下一节二分法做铺垫；二是再次体会方程函数的转化思想。)
3
3. 试判断方程y=x+3x-1是否有根。
4．求函数f(x)?lnx?2x?6的零点的个数。
(设计意图：通过例题分析，领会方程函数的转化思想,学会用零点存在性定理确定零点存在区间，并且结合函数性质，判断零点个数的方法。)
（四）归纳整理，整体认识
1.知识小结： 函数零点的概念，方程的根与函数的零点，零点存在定 理。
程一般不能用公式求解，1824年才由阿贝尔（挪威）证明了五次及高于五次的一般代数方程没有的根式解，1828年伽罗瓦（法国）证明了存在不能用开方运算求解的具体方程，开辟了近世代数学的群论。
人们一直在研究方程的近似解方法，值得一提的是，早在十三世纪的中国，秦九韶等数学家就提出了高次方程数值解的解法……
在一个星期内,四位同学为小组合作完成一篇关于方程发展史的数学小论文或去探究一下如何缩小零点所在的区间。
(设计意图：本题为选做题，融入数学史教育和爱国主义教育。)
2.思想方法小结：数形结合思想，方程与函数转化思想。
（五）作业与课外活动
作业：
课本 P88 练习1 、2 课外活动
在一个星期内,四位同学为小组合作完成一篇关于方程发展史的数学小论文或去探究一下如何缩小零点所在的区间。
教学反思：
本次公开课，立足探索“3+1”模式下如何提高课堂教学效率。我从指导学生阅读入手，试图在培养提高自学能力的同时培养学生的质疑精神。但是在试教时，注意了教学内容的全面性，知识的系统性，自学时内容的递进性，而忽略了自学指导的可操作性，因此内容虽然丰富充实，但没有凸显指导学生自主自学，造成不敢放手让学生讨论自学思考、发现的问题，课堂气氛较为沉闷。因此，在正式公开课前，我做了较大的改动：减少枝节内容，突出重点知识的自学、探究、讨论，用四个问题组成问题串，让学生带着问题阅读，在阅读中思考，由思生疑，师生共同在答疑讨论中突破函数零点的概念和函数零点存在性定理的理解及初步应用。结果表明，这对增加学生的立思考、参与探究讨论的时间是非常必要的和有效的。 公开课最大的亮点当属“自学释疑，研讨新知”中的问题串的设计，它们为得出定理内容后进一步挖掘定理内容，深入理解定理内涵起到很好的桥梁作用！在学生阅读自学后，它们为学生探究讨论，归纳类