(全国通用版)2019版高考数学大一轮复习 第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第8节 条件概率与事

A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2

(2)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(-1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( ) 附:若X~N(μ,σ),则P(μ-σ

2

P(μ-2σ

A.1 193

B.1 359

C.2 718

2

D.3 413

解析 (1)因为随机变量ξ服从正态分布N(2,σ),μ=2,得对称轴为x=2,P(ξ<4)=0.8,∴P(ξ≥4)=P(ξ≤0)=0.2,∴P(0<ξ<4)=0.6.

(2)对于正态分布N(-1,1),μ=-1,σ=1,正态曲线关于x=-1对称,故题图中阴影部11

分的面积为×[P(-3

2210.135 9

σ)]=×(0.954 4-0.682 6)=0.135 9,所以点落入题图中阴影部分的概率P==

210.135 9,投入10 000个点,落入阴影部分的个数约为10 000×0.135 9=1 359. 答案 (1)A (2)B

规律方法 (1)利用3σ原则求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ,σ进行对比联系,确定它们属于(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)中的哪一个.

(2)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是正态曲线关于直线x=μ对称,及曲线与x轴之间的面积为1.注意下面两个结论的活用: ①P(X<a)=1-P(X≥a);②P(X<μ-σ)=P(X≥μ+σ).

【训练4】 已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,3),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为 (附:若随机变量ξ

服从正态分布N(μ,σ),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ-

2

2

2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%.)( ) A.4.56% C.27.18%

2

B.13.59% D.31.74%

解析 依题设,X~N(0,3),其中μ=0,σ=3. ∴P(-3

因此P(3

2

9

1

=(0.954 4-0.682 6)=0.135 9=13.59%. 2答案 B

10

基础巩固题组 (建议用时:40分钟)

一、选择题

1.打靶时,甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,若两人同时射击一个目标,则他们同时中靶的概率是( ) 14A. 25

B.12 25

3C. 4

3D. 5

47

解析 因为甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,所以P(甲)=,P(乙)=,5104714

所以他们都中靶的概率是×=. 51025答案 A

2.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A.0.8

B.0.75

C.0.6

D.0.45

解析 记事件A表示“一天的空气质量为优良”,事件B表示“随后一天的空气质量为优良”,

P(AB)0.6P(A)=0.75,P(AB)=0.6.由条件概率,得P(B|A)===0.8.

P(A)0.75

答案 A

3.(2018·衡水模拟)先后抛掷硬币三次,则至少一次正面朝上的概率是( ) 1A. 8

3B. 8

3

5 C. 8

7 D. 8

17?1?1

解析 三次均反面朝上的概率是??=,所以至少一次正面朝上的概率是1-=. 88?2?8答案 D

4.设随机变量X服从正态分布N(1,σ),则函数f(x)=x+2x+X不存在零点的概率为( ) 1

A. 4

1B. 3

2

2

2

1C. 22 D. 3

2

解析 ∵函数f(x)=x+2x+X不存在零点,∴Δ=4-4X<0,∴X>1,∵X~N(1,σ),∴P(X>1)1

=,故选C. 2答案 C

5.(2017·上饶模拟)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A和B,系统A和系统B在任

11

19

意时刻发生故障的概率分别为和p,若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为,则p840=( ) 1

A. 10

B.2 15

1C. 6

1 D. 5

19?1?解析 由题意得(1-p)+?1-?p=, 8?8?402

∴p=,故选B.

15答案 B 二、填空题

6.(2018·福州模拟)若随机变量X~N(μ,σ),且P(X>5)=P(X<-1)=0.2,则P(2

5-1

解析 ∵P(X>5)=P(X<-1),∴μ==2,

211

∴P(2

22答案 0.3

7.有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中,随机抽取一粒,则这粒种子能成长为幼苗的概率为________.

解析 设种子发芽为事件A,种子成长为幼苗为事件B(发芽又成活为幼苗). 依题意P(B|A)=0.8,P(A)=0.9.

根据条件概率公式P(AB)=P(B|A)·P(A)=0.8×0.9=0.72,即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72. 答案 0.72

8.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠.若该电梯在底层有5个乘客,1

且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为,用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人

3数,则P(X=4)=________.

2

?1?

解析 考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验,这是5次独立重复试验,故X~B?5,?,

?3??1??2?即有P(X=k)=C5??×???3??3?

kk5-k,k=0,1,2,3,4,5.

10?1??2?故P(X=4)=C??×??=.

?3??3?243

45

41

12

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