(全国通用版)2019版高考数学大一轮复习 第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第8节 条件概率与事

答案

10 243

三、解答题

9.(2018·洛阳模拟)在某中学篮球体育测试要求学生完成“立定投篮”和“三步上篮”两项测试,“立定投篮”与“三步上篮”各有2次投篮机会,先进行“立定投篮”测试,如果合格才有机会进行“三步上篮”测试,为了节约时间,每项只需且必须投中一次即为合格.小明同学“立13定投篮”的命中率为,“三步上篮”的命中率为,假设小明不放弃任何一次投篮机会且每次投

24篮是否命中互不影响.

(1)求小明同学一次测试合格的概率;

(2)设测试过程中小明投篮的次数为ξ,求ξ的分布列.

解 (1)设小明第i次“立定投篮”命中为事件Ai,第i次“三步上篮”命中为事件Bi(i=1,13

2),依题意有P(Ai)=,P(Bi)=(i=1,2),“小明同学一次测试合格”为事件C.

24(1)P(C)=P(A1A2)+P(A1A2B1B2)+P(A1B1B2)

1?1??1?1?3?=P(A1)P(A2)+P(A1)P(A2)P(B1)P(B2)+P(A1)·P(B1)P(B2)=??+?1-?××?1-?+×

2?2??2?2?4?

2

2

?1-3?=19.

?4?64??

1945∴P(C)=1-=.

6464(2)依题意知ξ=2,3,4,

2

P(ξ=2)=P(A1B1)+P(A1A2)=P(A1)P(B1)+P(A1)·P(A2)=, P(ξ=3)=P(A1B1B2)+P(A1A2B1)+P(A1B1B2)

=P(A1)P(B1)P(B2)+P(A1)P(A2)P(B1)+

58

P(A1)P(B1)P(B2)=,

P(ξ=4)=P(A1A2B1)=P(A1)P(A2)P(B1)=. 故投篮的次数ξ的分布列为:

ξ 2 5 83 5 164 1 16116

516

P 10.(2018·西安模拟)从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的质量指标值.由

13

测量结果得到如图所示的频率分布直方图,质量指标值落在区间[55,65),[65,75),[75,85]内的频率之比为4∶2∶1.

(1)求这些产品质量指标值落在区间[75,85]内的频率;

(2)若将频率视为概率,从该企业生产的这种产品中随机抽取3件,记这3件产品中质量指标值位于区间[45,75)内的产品件数为X,求X的分布列.

解 (1)设这些产品质量指标值落在区间[75,85]内的频率为x,则落在区间[55,65),[65,75)内的频率分别为4x,2x.

依题意得(0.004+0.012+0.019+0.030)×10+4x+2x+x=1,解得x=0.05. 所以这些产品质量指标值落在区间[75,85]内的频率为0.05.

(2)由(1)得,这些产品质量指标值落在区间[45,75)内的频率为0.3+0.2+0.1=0.6,将频率视为概率得p=0.6.

从该企业生产的这种产品中随机抽取3件,相当于进行了3次独立重复试验,所以X服从二项分布B(n,p),其中n=3,p=0.6. 因为X的所有可能取值为0,1,2,3, 且P(X=0)=C3×0.6×0.4=0.064,

12

P(X=1)=C13×0.6×0.4=0.288, 21P(X=2)=C23×0.6×0.4=0.432, 30P(X=3)=C33×0.6×0.4=0.216,

0

0

3

所以X的分布列为

X P 0 0.064 1 0.288 2 0.432 3 0.216 能力提升题组 (建议用时:20分钟)

11.(2018·南昌月考)已知1号箱中有2个白球和4个红球、2号箱中有5个白球和3个红球,

14

现随机从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱中随机取出一球,则两次都取到红球的概率是( ) 11A. 27

B.11 24

8 C. 27

D.9 24

解析 设“从1号箱取到红球”为事件A,“从2号箱取到红球”为事件B. 由题意,P(A)=

423+14

=,P(B|A)==, 2+438+19

428

所以P(AB)=P(B|A)·P(A)=×=,

93278

所以两次都取到红球的概率为. 27答案 C

12.某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N(1 000,50),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________.

2

解析 设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A,B,C,显然P(A)=P(B)1

=P(C)=,∴该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为(AB+AB+AB)C,

2∴该部件的使用寿命超过1 000小时的概率

??P=?×+×+×?×=. 222222?

?

3答案 8

13.(2018·黄冈调研)已知6只小白鼠中有1只感染了病毒,需要对6只小白鼠进行病毒DNA化验来确定哪一只受到了感染.下面是两种化验方案:方案甲:逐个化验,直到能确定感染病毒的小白鼠为止.方案乙:将6只小白鼠分为两组,每组三只,将其中一组的三只小白鼠的待化验物质混合在一起化验,若化验结果显示含有病毒DNA,则表明感染病毒的小白鼠在这三只当中,然后逐个化验,直到确定感染病毒的小白鼠为止;若化验结果显示不含病毒DNA,则在另外一组中逐个进行化验.

(1)求执行方案乙化验次数恰好为2次的概率;

(2)若首次化验的化验费为10元,第二次化验的化验费为8元,第三次及以后每次化验的化验

111111

13

28

15

费都是6元,求方案甲所需化验费的分布列.

解 (1)执行方案乙化验次数恰好为2次的情况分两种:

第一种,先化验一组,结果显示不含病毒DNA,再从另一组中任取一只进行化验,其恰含有病C511

毒DNA,此种情况的概率为3×1=.

C6C36

第二种,先化验一组,结果显示含病毒DNA,再从中逐个化验,恰好第一只含有病毒,此种情C511

况的概率为3×1=.

C6C36

111

所以执行方案乙化验次数恰好为2次的概率为+=. 663

(2)设用方案甲化验次数为ξ,则ξ可能的取值为1,2,3,4,5,对应的化验费为η(单位:元),则η的可能取值为10,18,24,30,36.

2

3

P(η=10)=P(ξ=1)=, P(η=18)=P(ξ=2)=×=, P(η=24)=P(ξ=3)=××=, P(η=30)=P(ξ=4)=×××=, P(η=36)=P(ξ=5)=×××=,

则化验费η的分布列为

η 10 1 6

18 1 624 1 630 1 6

36 1 35432165433543116543654116546511656

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P 16

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