习题八
8-1 电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系?解: 如题8-1图示
(1) 以A处点电荷为研究对象，由力平衡知：q?为负电荷
1q212cos30??4π?0a24π?0qq?(32a)3
解得 q??? (2)与三角形边长无关．
3q 3题8-1图 题8-2图
8-2 两小球的质量都是m，都用长为l的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2? ,如题8-2解: 如题8-2图示
Tcos??mg??q2?Tsin??F?1e?4π?0(2lsin?)2?
解得 q?2lsin?4??0mgtan? 8-3 根据点电荷场强公式E?q4??0r2，当被考察的场点距源点电荷很近(r→0)时，则场强→∞，这是
没有物理意义的，对此应如何理解?
?解: E?q4π?0r2?r0仅对点电荷成立，当r?0时，带电体不能再视为点电荷，再用上式求场强是错误的，
实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大．
8-4 在真空中有A，B两平行板，相对距离为d，板面积为S，其带电量分别为+q和-q．则这两板之间有相互作用力f，有人说f=
q24??0d2,又有人说，因为
qf=qE,E??0S，所以
q2f=?0S．试问这两种
说法对吗?为什么? f到底应等于多少?
解: 题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把合场强E?E?q2?0Sq?0S看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的．正确解答应为一个板的电场为
q2f?q?2?0S2?0Sq，另一板受它的作用力，这是两板间相互作用的电场力．
8-5
????一电偶极子的电矩为p?ql，场点到偶极子中心O点的距离为r,矢量r与l的夹角为?,(见题8-5
图)，且r??l．试证P点的场强E在r方向上的分量Er和垂直于r的分量E?分别为
Er=pcos?2??0r3, E?=
psin?4??0r3
???证: 如题8-5所示，将p分解为与r平行的分量psin?和垂直于r的分量psin?．
∵ r??l ∴ 场点P在r方向场强分量
Er?pcos?2π?0r3
垂直于r方向，即?方向场强分量
E0?psin?4π?0r3
题8-5图 题8-6图 8-6 长l=15.0cm
AB上均匀地分布着线密度?=5.0x10-9C·m
-1
(1)在
导线的延长线上与导线B端相距a1=5.0cm处P点的场强；(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距d2=5.0cm 处Q点的场强． 解： 如题8-6图所示
(1)在带电直线上取线元dx，其上电量dq在P点产生场强为
dEP?1?dx4π?0(a?x)2
?EP??dEP?4π?0??l2l?2dx(a?x)2?11[?]
ll4π?0a?a?22??lπ?0(4a?l)22
用l?15cm，??5.0?10?9C?m?1, a?12.5cm代入得
EP?6.74?102N?C?1
方向水平向右
(2)
dEQ?1?dx4π?0x2?d22 方向如题8-6图所示
由于对称性?ldEQx??0，即EQ只有y分量，
1?dx?4π?0x2?d22d2x?d222∵ dEQy
d??24π?2EQy??dEQyl?l2l?2dx(x2?d22)32
??l2π?0l?4d222
以??5.0?10?9C?cm?1, l?15cm,d2?5cm代入得
EQ?EQy?14.96?102N?C?1，方向沿y轴正向
8-7 一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为?,求环心处O点的场强． 解: 如8-7图在圆上取dl?Rd?
题8-7图
dq??dl?R?d?，它在O点产生场强大小为 dE??Rd?4π?0R2方向沿半径向外
?sin?d?
4π?0R则 dEx?dEsin?? dEy积分Ex??0??dEcos(???)???cos?d? 4π?0R??sin?d?? 4π?0R2π?0REy???0??cos?d??0 4π?0R∴ E?Ex??，方向沿x轴正向． 2π?0R8-8 均匀带电的细线弯成正方形，边长为l，总电量为q．(1)求这正方形轴线上离中心为r处的场强E；(2)证明：在r??l处，它相当于点电荷q产生的场强E解: 如8-8
?q图示，正方形一条边上电荷在P点产生物强dEP方向如图，大小为
4dEP???cos?1?cos?2?4π?0r2?l2r2?l22l42
∵ cos?1?
cos?2??cos?1