题组层级快练(三十三)
1．已知向量a＝(1，sinθ)，b＝(1，cosθ)，则|a－b|的最大值为( ) A．1 C.3 答案 B
解析 ∵a＝(1，sinθ)，b＝(1，cosθ)，∴a－b＝(0，sinθ－cosθ)． ∴|a－b|＝0＋
2B.2 D．2
θ－cosθ
2＝1－sin2θ.
∴|a－b|最大值为2.故选B.
→→22
2．在平行四边形ABCD中，AB＝a，AD＝b，则当(a＋b)＝(a－b)时，该平行四边形为( ) A．菱形 C．正方形 答案 B
→→→
解析 在平行四边形中，a＋b＝AB＋AD＝AC，
→→→→→
a－b＝AB－AD＝DB，∵|a＋b|＝|a－b|，∴|AC|＝|DB|，对角线相等的平行四边形为矩形，故选B. →2→→→→→→
3．在△ABC中，若AB＝AB·AC＋BA·BC＋CA·CB，则△ABC是( ) A．等边三角形 C．钝角三角形 答案 D
→2→→→→→→→→→→→→2→→→→
解析 由已知，AB＝AB·AC－AB·BC＋CA·CB＝AB·(AC＋CB)＋CA·CB＝AB＋CA·CB，∴CA·CB＝0.
→→→
4．已知A，B是圆心为C半径为5的圆上两点，且|AB|＝5，则AC·CB等于( ) 5A．－ 2C．0 答案 A
→
解析 由于弦长|AB|＝5与半径相同，则∠ACB＝60°?AC·CB＝－CA·CB＝－|CA|·|CB|·cos∠
→
→
→
→
→
5B. 2D.53
2
B．锐角三角形 D．直角三角形 B．矩形 D．以上都不正确
ACB＝－5·5·cos60°＝－.
5．设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(3sinA，sinB)，n＝(cosB，3cosA)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C＝( )
52
A.C.
π 62π 3
B.D.
π 35π 6
答案 C
解析 依题意得3sinAcosB＋3cosAsinB＝1＋cos(A＋B)，3sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)，3sinCππ1ππ7π
＋cosC＝1,2sin(C＋)＝1，sin(C＋)＝.又 662666 π5π2π 因此C＋＝，C＝，选C. 663 →→1 6．设P是曲线y＝上一点，点P关于直线y＝x的对称点为Q，点O为坐标原点，则OP·OQ＝( ) xA．0 C．2 答案 C 11 解析 设P(x1，)，则Q(，x1)． B．1 D．3 x1x1 →→1111 ∴OP·OQ＝(x1，)·(，x1)＝x1·＋·x1＝2. x1x1x1x1 →→→ 7．在△ABC中，BC＝a，CA＝b，AB＝c，且a·b＝b·c＝c·a，则△ABC的形状是( ) A．锐角三角形 C．钝角三角形 答案 D 解析 因a，b，c均为非零向量，且a·b＝b·c，得b·(a－c)＝0?b⊥(a－c)． 又a＋b＋c＝0?b＝－(a＋c)， ∴[－(a＋c)]·(a－c)＝0?a＝c，得|a|＝|c|. 同理|b|＝|a|，∴|a|＝|b|＝|c|. 故△ABC为等边三角形． 8．(2015·辽宁五校协作体第一次联考)已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若平面上的三个→→→→→→ 不共线的向量OA，OB，OC满足OB＝a1OA＋a2 014OC，且A，B，C三点共线，则S2 014＝( ) A．1 007 C．2 012 答案 A →→→a1＋a2 014 解析 因为OB＝a1OA＋a2 014OC，又A，B，C三点共线，所以a1＋a2 014＝1，∴S2 014＝×2 014＝1 2007.故选A. B．1 006 D．2 014 2 2 B．直角三角形 D．等边三角形 9．已知a，b是两个非零向量，给定命题p：|a·b|＝|a||b|，命题q：?t∈R，使得a＝tb，则p是q的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 答案 C 解析 ∵|a·b|＝|a||b||cosθ|＝|a||b|， ∴θ＝0°或180°，即a，b共线． ∴?t∈R，使得a＝tb成立． ∴p是q的充分条件． 若?t∈R，使得a＝tb，则a，b共线． ∴|a·b|＝|a||b|.∴p是q的必要条件． 综上可知，p是q的充要条件． →→→→→ 10．(2015·保定模拟)若O是△ABC所在平面内一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，则△ABC的形状是( ) A．等腰三角形 C．等腰直角三角形 答案 B →→→→→→→→→→→→→→→→→→→解析 OB＋OC－2OA＝OB－OA＋OC－OA＝AB＋AC，OB－OC＝CB＝AB－AC，∴|AB＋AC|＝|AB－AC|?|AB→2→→2→→ ＋AC|＝|AB－AC|?AB·AC＝0，∴三角形为直角三角形，故选B. 11．已知直线x＋y＝a与圆x＋y＝4交于A，B两点，且 →→→→ |OA＋OB|＝|OA－OB|，其中O为原点，则实数a的值为( ) A．2 C．2或－2 答案 C →→→→→→ 解析 由|OA＋OB|＝|OA－OB|，得OA⊥OB. ∴点O到AB的距离d＝2，即 2 2 2 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 B．直角三角形 D．等边三角形 B．－2 D.6或－6 |－a| ＝2，解得a＝±2. 2 12．过抛物线y＝2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交→→→→ 点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若AF＝FB，BA·BC＝48，则抛物线的方程为( ) A．y＝8x C．y＝16x 答案 B 22 B．y＝4x D．y＝42x 2 2