习题六
1. 求映射w?
1
下，下列曲线的像. z
(1) x2?y2?ax (a?0，为实数) 解：w? u?11xy??2?i=u+iv zx?iyx?y2x2?y2xx1??,
x2?y2axa11将x2?y2?ax映成直线u?. za(2) y?kx.(k为实数)
所以w?解： w?u?1xy?2?i zx?y2x2?y2xx2?y2v??ykx??
x2?y2x2?y2v??ku
1将y?kx映成直线v??ku. z2. 下列区域在指定的映射下映成什么？
故w? （1）Im(z)?0,w?(1?i)z；
解： w?(1?i)?(x?iy)?(x?y)?i(x+y) u?x?y,v?x?y.u?v??2y?0.
所以Im(w)?Re(w).
故w?(1?i)?z将Im(z)?0,映成Im(w)?Re(w). (2) Re(z)>0. 0 i. z 解：设z=x+iy, x>0, 0 iii(x?iy)yxw???2?2?2i 22zx?iyx?yx?yx?y2Re(w)>0. Im(w)>0. 若w=u+iv, 则 y?uv ,x?22u?vu?v22因为0 解：因为w?=2z,所以w?(i)=2i, |w?|=2, 旋转角argw?= π. 222 于是, 经过点i且平行实轴正向的向量映成w平面上过点-1，且方向垂直向上的向量.如图所示. → 2 4. 一个解析函数，所构成的映射在什么条件下具有伸缩率和旋转角的不变性？映射w=z在z平面上每一点都具有这个性质吗？ 2 答：一个解析函数所构成的映射在导数不为零的条件下具有伸缩率和旋转不变性映射w=z在z=0处导数为零，所以在z=0处不具备这个性质. 5. 求将区域0 cz?da(z?1)?c(z?1), cz?da?c?a?d. c?daz?b(ad-bc?0)由?1??1.得 cz?d因为w?即w?1?由1?1代入上式，得2?21?dd?cc?(z?1)?因此w?1?(z?1) cz?dz?dc令 d?q，得 cw?1(z?1)(1?q)/(z?q)(z?1)(1?q)z?1 ???a?w?1(z?1)(1?q)/(z?q)?2(z?1)(q?1)z?1其中a为复数. 反之也成立，故所求分式线性映射为 7. 若分式线性映射，w?解：若w?w?1z?1， a为复数. ?a?w?1z?1az?b将圆周|z|=1映射成直线则其余数应满足什么条件？ cz?daz?bd将圆周|z|=1映成直线，则z??映成w??. cz?dc而z??dd落在单位圆周|z|=1,所以??1,|c|=|d|. cc故系数应满足ad-bc?0,且|c|=|d|. z?1作用下，下列集合的像. z?1(1) Re(z)?0; (2) |z|=2; (3) Im(z)>0. 8. 试确定映射，w?解：(1) Re(z)=0是虚轴，即z=iy代入得. iy?1?(1?iy)2?1?y22yw????i? 22iy?11?y1?y1?y22y?1?y2v?写成参数方程为u?， , ???y???. 1?y21?y2消去y得，像曲线方程为单位圆,即 u2+v2=1. 2ei??1(2) |z|=2.是一圆围，令z?2e,0???2π.代入得w?i?化为参数方程. 2e?134sin? u? 0???2π u?5?4cos?5?4cos?消去?得，像曲线方程为一阿波罗斯圆.即 54(u?)2?v2?()2 33i? (3) 当Im(z)>0时，即 w?1w?1??z?Im()?0, w?1w?1令w=u+iv得 w?1(u?1)?iv?2vIm()?Im()??0. w?1(u?1)?iv(u?1)2?v2即v>0,故Im(z)>0的像为Im(w)>0. 9. 求出一个将右半平面Re(z)>0映射成单位圆|w|<1的分式线性变换. 解：设映射将右半平面z0映射成w=0，则z0关于轴对称点z0的像为w??， 所以所求分式线性变换形式为w?k?z?z0z?z0其中k为常数. 又因为w?k?z?z0z?z0,而虚轴上的点z对应|w|=1,不妨设z=0，则 w?k?z?z0z?z0?|k|?1?k?ei?(Re(z0)?0). (??R) 故w?ei??z?z0z?z010. 映射w?ei??解：因为 z??将|z|?1映射成|w|?1,实数?的几何意义显什么？ 1???z(1??z)?(z??)(??)1?|?|2i?w?(z)?e??e? (1???z)2(1??z)2i?