第六章思考题
6.1. 相同的两匀质杆AO和BO用铰链连接于固定点O, 并可在水平面内绕O点转动.
某时刻AOB位于同一直线上, 二杆以同样大小的角速度?转动, 如思考题6.1图所示. 有人认为:“以二杆为系统, 此时质心为O点, O点为固定点, 故此时质心速度为零.”这种说法对吗?
思考题6.1图
1??mtvc2r?mtvc为质心对O点的角动量, 称26.2. 有时称c为质心的动能. 这是否说明质心
??mrv是一个质量为t、位置矢量为c、速度为c的质点?
?vmR6.3. 有一半径为, 质量为的匀质圆球被旋转抛出. 某时刻球心速度为,球旋转角速
??度为, 求此时圆球的动量.
6.4. 将一半圆柱置于一光滑水平面上, 初始时半圆柱静止于如思考题6.4图所示位置, 求
质心C的运动轨迹.
思考题6.4图
6.5. 有一水平圆台, 可绕过其圆心的竖直轴z轴转动, 轴承处有较小但不可忽略的摩擦力.
有人站在台边上, 初始时圆台与人均静止, 如思考题6.5图所示.之后人沿台边跑一段时间后, 又停止跑动. 问人停止跑动后, 人与圆台将如何运动? 在整个过程中, 以人、圆台和轴为质点系, 其对z轴总角动量如何变化?
思考题6.5图
6.6. 思考题6.5中, 把轴包括在质点系内, 这样做有何好处? 6.7. 思考题6.5中, 如轴承是光滑的, 情况又当如何?
6.8. 思考题6.5中, 人与盘运动状态的改变是由人跑动引起的. 而质点系的角动量定
理指出, 质点系角动量的变化与内力无关. 这两者之间是否发生矛盾?
6.9. 试证明: 若质点系总动量为零, 则质点系对任意固定点的总角动量均相等. 6.10. 有两个形状相同的匀质齿轮位于同一竖直面内, 可绕过各自中心的水平轴O1和O2转动, 转动惯量同为I, 如思考题6.10图所示. 开始时轮1绕固定轴O1以角速度?转
?动, 轮2静止. 之后可沿竖直线移动的轴O2向下移动使二齿轮啮合. 已知齿轮啮合后转动角速度的大小均为?2. 有人说: “以二齿轮为质点组, 所受外力对轮轴力矩均为零. 且啮合前总角动量为I?, 啮合后总角动量仍为程角动量守恒.”试分析该说法是否正确.
?I??2?I?2?I?, 可见啮合过
思考题6.10图
6.11. 质量相同的两小球用轻杆相连, 静止地放在光滑水平面上. 初始时给其中一小球以
??FF6.12. 自行车由静到动, 其动量变化靠的是地面对后轮向前的摩擦力f, 这个摩擦力f?W?Ff?(自行车向前移动距离）对自行车做的功是否为?
??????和L?rO??mtvO??LO6.13. 以一般的动坐标系O?x?y?z?代替质心系, 关系式OT?12mtvO??T?L?2(O?和T分别为质点系在O?x?y?z?系中对O?点的角动量和动能)能
?v垂直于杆的水平初速度0, 试证两球各自的轨道均为旋轮线.
否成立?
6.14. 一匀质细杆可绕过端点的水平轴无摩擦地转动, 初始时杆静止于竖直位置, 如思考
题6.14图所示. 之后一小球沿水平方向飞来与杆做完全弹性碰撞. 以小球和杆为质点系, 在碰撞过程中系统动量、角动量和机械能是否守恒?
思考题6.14图
6.15. 在光滑水平面上有一长为l、质量为m的匀质细杆, 绕过其中点的竖直轴以角速度
?0转动, 但其中心不固定, 如思考题6.15图所示. 现突然将杆的A端按住, 以杆为
研究对象, 有人认为:“用手按住A点, 系统在A点受外力作用, 但在按住A点的过程中A点无位移,故该外力不做功, 所以杆的机械能守恒.”你认为这样的看法正确吗?
?
思考题6.15图
第六章习题
6.1. 椭圆规尺AB质量为2m1, 曲柄OC质量为m1, 套管A,B质量为m2,
如题6.1图所示. 求此机构总动量的大小和方向.
?OC?AC?CB?l, 尺和曲柄的质心均位于其中点, 曲柄以匀角速度?绕z轴转动,
题6.1图
6.2. 质量分别为m1和m2的重物以跨过滑轮A的不可伸长的轻绳相连, 并可沿直角三棱
柱的斜面滑动. 三棱柱底面放在光滑水平面上, 如题6.2图所示. 已知三棱柱质量
m?4m1?16m2初始时各物体均静止, 求当重物下降高度为0.1m时, 三棱柱沿水平
面的位移.
?mv6.3. 质量为0的人手持质量为m的物体, 此人以与地面成?角的初速度0向前跳出.
?u当他跳到最高点时, 将物体以相对自己的速度水平向后抛出. 问由于物体的抛出,
跳的距离增加了多少?
6.4. 两个质点A和B质量分别为mA和mB, 初始时位于同一竖直线上, A质点有水平初
题6.2图
?v速度0, B质点静止, B点高度为h, A点在B点的上方, A和B间距离为l. 在
以下3种情况中求质点A和B的质心轨迹. (1) A和B两质点间没有相互作用；(2) 质点A和B以万有引力相互作用; (3) A和B间以轻杆相连.
6.5. 质量为m的薄板在竖直面内, 绕过O点的水平轴按
???0cos?t规律转动, 其质心
C离O点的距离为a, 如题6.5图所示. 求在任一瞬时水平轴对板的约束力.
题6.5图
6.6. 瓦特节速器装置如题6.6图, 二杆长OA?OB?l, A和B二球质量均为m. 初始
??时A和B二球被一根线连结, 装置以角速度0绕竖直轴转动, 杆的张角为0. 自某
??一时刻线被烧断, 求角速度与张角?的关系. 设轴承光滑, 不受主动力矩, 杆的质
量均可忽略不计. 若杆的质量不可忽略, 但各杆质量分布均匀, 结果又当如何?
?
题6.6图
6.7. 一质量为
m0、底半径为R的匀质圆锥, 它的光滑固定对称轴沿竖直方向, 圆锥尖端
?向上, 在圆锥表面上有一沿母线的细槽. 初始时, 圆锥绕其对称轴以角速度0转动, 同时有一质量为m的小球开始自槽的顶端沿槽自由下滑. 试求小球滑出槽口时圆锥的角速度. 若此槽不是沿母线的直线, 试问此槽曲线应满足什么条件, 才能使小球滑出槽口时圆锥角速度与槽为沿母线的直线情况相同.
6.8. 质量为m1和m2的二质点, 用一根长为l的不可伸长的轻绳相连. 初始时m1被握在手
中不动, m2以匀速率
?v0绕m1做圆周运动. 在某瞬时将m1放手, 试求以后二质点的
2F?mmv120(m1?m2)l. 不考虑重力及质点间引力作用, 运动, 并证明绳内张力T并已知绳一直是张紧的.
6.9. 传送机由两个相同的滑轮B和C和套在其上的传送带构成, 每个滑轮质量为m1、半
径为R, 均可视为匀质圆盘, 传送带质量为m2, 相对水平面倾角为?, 被传送物体
?m质量为3. 初始时各物体均静止, 在B上施加一不变力矩M, 如题6.9图所示. 设
滑轮轴承处光滑, 传送带与滑轮及传送带与被传送物体间均无滑动, 传送带在EF间
为直线. 试求当被传送物体在EF间运动时, 传送带运行速率v与运行距离s间的关系.