《计算方法》数值实验报告
班级 学号 金志彬 090712 09071235 姓名 实验室 设备编号 日期 2012.06.05 3-128 D12 实验题目 编写牛顿插值方法的MATLAB主程序并验算P183.11 1、实验目的： 通过编程实现牛顿插值方法，加深对多项式插值的理解。应用所编程序解决实际算例。 2、实验要求： （1）认真分析课题要求，复习相关理论知识，选择适当的解决方案； （2）上机实验程序，做好上机前的准备工作； （3）调试程序，记录计算结果； （4）分析和解释计算结果； （5）按照要求书写实验报告。 3、实验内容： （1）算法原理或计算公式 算法原理：根据均差定义，把x看成[a，b]上一点，可得 f(x)?f(x0)?f[x,x0](x?x0) f[x,x0]?f[x0,x1]?f[x,x0,x1](x?x1) … f[x,x0,...,xn?1]?f[x0,x1,...,xn]?f[x,x0,...,xn](x?xn 只要把后一式代入前一式，就得到 f(x)?f(x0)?f[x0,x1](x?x0)?f[x0,x1,x2](x?x0)(x?x1)?...?f[x0,x1,...,xn](x?x0)...(x?xn?1)?f[x0,x1,...,xn]?n?1(x)?Nn(x) 其中 Nn(x)?f(x0)?f[x0,x1](x?x0)?f[x0,x1,x2](x?x0)(x?x1)?...?f[x0,...,xn](x?x0)...(x?xn) Rn(x)?f(x)?Nn(x)?f[x,x0,...,xn]?n?1(x) ?n(x)?(x?x0)(x?x1)...(x?xn) 由式（1-1）确定的多项式Nn(x)显然满足插值条件，且次数不超过n次的多项式，其系数为 ak?f[x0,...,xk](k?0,1,...,n)
称Nn(x)为牛顿（Newton）均差插值多项式。系数ak就是书本表5-1中第一条斜线上对应的数值。 式（1-2）为插值余项，由插值多项式唯一性可知，它与书本式（5.1.19）是等价的，事实上，利用均差与导数关系式可由式（1-2）推出书本式（5.1.19）。但式（1-2）更有一般性，它对f是由离散点给出的情形或f导数不存在时均适用。 （2）程序设计思路 1)输入：n的值及（xi,yi）,i?0,1,...,n;要计算的函数点x(本文取x0,x1两个函数点); 2)由 Nn(x)?f(x0)?f[x0,x1](x?x0)?f[x0,x1,x2](x?x0)(x?x1)?...?f[x0,...,xn](x?x0)...(x?xn)计算 Nn(x)的值； Nn(x)。 3）输出：（3）源程序 function f=Newton(x,y,x0,x1) syms t; if(length(x)==length(y)) n=length(x); c(1:n)=0.0; else disp('x和y的维数不相等！'); return; end f=y(1); y1=0; l =1; for(i=1:n-1) for(j=i+1:n) y1(j)=(y(j)-y(i))/(x(j)-x(i)); end c(i)=y1(i+1); l=l*(t-x(i)); f=f+c(i)*l; y=y1; end f=simplify(f); g=subs(f,'t',x0) g1=subs(f,'t',x1) A=zeros(n,n-1); A=[y',A]; for j=2:n for i=j:n A(i,j)=(A(i,j-1)-A(i-1,j-1))/(x(i)-x(i+1-j)); end end disp('差商表为'); disp(A); （4）运行结果 >> x=[0 1 2 3]; >> y=[1 2 17 64]; >> x0=0.5; >> x1=2.5; >> f=Newton(x,y,x0,x1)
g = 0.8750 g1 = 35.3750 差商表为 0 0 0 0 1.0000 1.0000 0 0 7.0000 6.0000 2.5000 0 3.0000 -4.0000 -5.0000 -2.5000 f = 1-2*t^2+3*t^3 4、实验小结体会： 1）通过本次实验让我从实践验证了理论-------插值多项式的基本思想; 2）牛顿插值法建立过程中用到了插商计算，这是有别于拉格朗日插值法的一部分，在已知点数较少的情况下用牛顿插值法较为准确； 3）通过编程，加深了matlab的熟悉特别是一些函数语句，进一步体会到了函数逼近的思想。