《实变函数》试卷一
一、单项选择题(3分×5=15分) 1、下列各式正确的是( )
(A)limAn???Ak; (B)limAn???Ak;
n??n?1k?n??n??n?1k?n?????
二. 填空题(3分×5=15分)
1、(CsA?CsB)?(A?(A?B))?_________
?2、设E是?0,1?上有理点全体,则
(C)limAn???Ak; (D)limAn???Ak;
n??n?1k?nn??n?1k?n2、设P为Cantor集,则下列各式不成立的是( )
'E=______,E=______,E=______.
'on3、设是中点集,如果对任一点集T都REP?(A) c (B) mP?0 (C) P?P (D) P?P
?3、下列说法不正确的是( )
(A) 凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 (D)波雷耳集都可测 4、设?fn(x)?是E上的a.e.有限的可测函数列,则下面不成立的是( )(A)若fn(x)?f(x), 则fn(x)?f(x) (B)
sup?fn(x)?是可测函数(C)inf?fn(x)?是可测函数;(D)若
n_________________________________,则称E是L可测的 4、f(x)可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.(填“充分”,“必要”,“充要”)
5、设f(x)为?a,b?上的有限函数,如果对于?a,b?的一切分划,使_____________________________________,则称f(x)为
n?a,b?上的有界变差函数。
三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反
例说明.(5分×4=20分)
1、设E?R1,若E是稠密集,则CE是无处稠密集。
fn(x)?f(x),则f(x)可测
5、设f(x)是[a,b]上有界变差函数,则下面不成立的是( )(A) f(x)在[a,b]上有界 (B) f(x)在[a,b]上几乎处处存在导数
(C)f(x)在[a,b]上L可积 (D)
'?baf'(x)dx?f(b)?f(a)
2、若mE?0,则E一定是可数集.
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?3、若|f(x)|是可测函数,则f(x)必是可测函数
4.设f(x)在可测集E上可积分,若?x?E,f(x)?0,则
2、(8分)求lim?n0ln(x?n)?xecosxdx n?Ef(x)?0
四、解答题(8分×2=16分).
?x2,x为无理数1、(8分)设f(x)?? ,则f(x)在?0,1?上是否R??1,x为有理数可积,是否L?可积,若可积,求出积分值。
五、证明题(6分×4+10=34分).
1、(6分)证明?0,1?上的全体无理数作成的集其势为c
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2、(6分)设f(x)是???,???上的实值连续函数,则对于任意常数a,E?{x|f(x)?a}是闭集。
3、(6分)在?a,b?上的任一有界变差函数f(x)都可以表示为两个增函数之差。
4、(6分)设mE??,f(x)在E上可积,en?E(|f|?n),则
limn?men?0.
n
5、(10分)设f(x)是E上a.e.有限的函数,若对任意??0,存在闭子集F??E,使f(x)在F?上连续,且m(E?F?)??,证明:f(x)是E上的可测函数。(鲁津定理的逆定理
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