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2.6 平面向量数量积的坐标表示
5分钟训练(预习类训练，可用于课前) 1.已知向量a=（-4，7），向量b=（5，2），则a·b的值是( )
A.34 B.27 C.-43 D.-6 解析：a·b=-4×5+7×2=-6. 答案：D
2.(高考福建卷,文14)在△ABC中，∠A=90°，AB=(k,1),AC=(2,3),则k的值是______________.
解析：由AB与AC垂直，列出关于k的方程，解方程即可. ∵∠A=90°，∴AB⊥AC.∴AB·AC=2k+3=0.∴k=?答案：?3. 23 23.已知向量a与b同向，b=(1,2),a·b=10.
(1)求向量a的坐标； （2）若c=(2,-1)，求(b·c)a. 解：(1)∵向量a与b同向，b=(1,2),∴a=λb=(λ,2λ). 又∵a·b=10，∴有λ+4λ=10.解得λ=2>0. 符合向量a与b同向的条件，∴a=(2,4). (2)∵b·c=1×2+2×(-1)=0, ∴(b·c)a=0.
4.求向量a=(1,2)在向量b=(2,-2)方向上的投影. 解：设a与b的夹角为θ， 则cosθ=
a?b1?2?2?(?2)10???.
2222|a|?|b|101?2?2?(?2)102)??. 102∴a在b方向上的投影为|a|cosθ=5?(?10分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.已知平面上直线l的方向向量e=(?43,)，点O(0,0)和A(1,-2)在l上的射影分别是O1、55A1，则O1A1=λe，其中λ等于( ) A.
1111 B.- C.2 D.-2 55解析：将所给坐标代入公式λ=|OA|cos〈e,OA〉，或利用特殊值.
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方法一：由向量在已知向量上的射影的定义知
43(?,)?(1,?2)e?OA46?5?55?????2. λ=|OA|cos〈e,OA〉=5555|e|OA|方法二：利用数形结合的思想，作图可得.令向量e过原点，故O1A1与e方向相反.排除A、C，检验B、D可知D正确.
答案：D
2.若向量b与向量a=(1,-2)的夹角是180°，且|b|=35，则b等于( ) A.(-3，6) B.(3，-6) C.(6，-3) D.(-6，3) 解析：由题意b与a共线，
方法一：设b=λ(-1,2),且λ>0,有(-λ)+(2λ)=(35)?b=(-3,6).
2
2
2
方法二：由题意可知，向量a、b共线且方向相反，故可由方向相反排除B、C.由共线可知b=-3a. 答案：A
3.已知向量a=(cosθ,sinθ)，向量b=(3,-1），则|2a-b|的最大值和最小值分别是( ) A.42,0 B.4,22 C.16，0 D.4，0
解析：a·b=2sin(
??22-θ),|2a-b|=4a?4a?b?b?8?8sin(??),
33∴|2a-b|的最大值为4，最小值为0.
答案：D
4.A、B、C、D四点的坐标依次是(-1，0)、(0，2)、(4，3)、(3，1)，则四边形ABCD为（ ） A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.平行四边形 解析：∵AB=(1,2),DC=(1,2),∴AB=DC.又线段AB与线段DC无公共点， ∴AB∥DC且|AB|=|DC|.∴四边形ABCD为平行四边形.
又|AB|=5，|BC|=17，∴|AB|≠|BC|.∴平行四边形ABCD不是菱形也不是正方形. 又AB·BC=4+2=6≠0，∴AB与BC不垂直.∴平行四边形ABCD不是矩形. 答案：D
5.已知|a|=213,b=(-2,3)且a⊥b,则a的坐标为________________. 解析：设a=(x,y)，则x+y=52.由a⊥b得-2x+3y=0. 由以上两个条件得?2
2
?x?6,?x??6, ??y?4,?y??4.答案：(6，4)或(-6，-4)
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6.已知A、B、C、D四点的坐标分别为A(1,0)、B(4,3)、C(2,4)、D(m,n).当m、n满足什么条件时，四边形ABCD分别是平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形(A、B、C、D按逆时针方向排列)?
解：由条件知AB=(3,3),BC=(-2,1),AD=(m-1,n),DC=(2-m,4-n). （1）若四边形ABCD为平行四边形，则AB=DC， ∴(3,3)=(2-m,4-n),解得m=-1,n=1.
∴当m=-1,n=1时，四边形ABCD为平行四边形. （2）当m=-1,n=1时，AB=(3,3),AD=(-2,1).
则|AB|=32,|AD|=5,|AB|≠|AD|.因此，使四边形ABCD为菱形的m、n不存在. （3）当m=-1,n=1时，AB·AD=(3,3)·(-2,1)=-3≠0，即AB、AD不垂直.因此使四边形ABCD为矩形的m、n不存在.
(4)由(2)(3)知，使四边形ABCD为正方形的m、n不存在.
(5)若四边形ABCD为梯形，则DC=λAB或AD=λBC，其中λ为实数，且λ>0,λ≠1.
?m?1??2?,?2?m?3?,∴?(λ>0,λ≠1)或?(λ>0,λ≠1).
n??4?n?3???整理得m、n的取值条件为n=m+2(m<2,m≠-1)或n=
1m?(m<1,m≠-1). 2230分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.下列各向量中，与e=（3，2）垂直的向量是( )
A.a=（3，-2） B.b=（0，0） C.c=（-4，6） D.d=（-3，2） 解析：∵3×（-4）+2×6=0，故选C. 答案：C
2.已知向量a=（2，1），b=（3，x），若（2a-b）⊥b，则x的值是( )
A.3 B.-1 C.-1或3 D.-3或1 解析：∵（2a-b）⊥b，
222
∴（2a-b）·b=2a·b-b=2×2×3+2×1×x-3-x=0.
2
整理，得x-2x-3=0，解得x=-1或3. 答案：C
3.A、B、C为平面内不共线的三点，若向量AB=（1，1），n=（1，-1）且n·AC=2，则n·BC等于( )
A.-2 B.2 C.-2或2 D.0 解析：∵BC=AC-AB，
∴n·BC=n·（AC-AB）=n·AC-n·AB=2-（1×1-1×1）=2.
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