考点42 直线与圆锥曲线的位置关系
一、选择题
1. (2014·湖北高考文科·T8)设a,b是关于t的方程tcosθ+tsinθ=0的两个不等实根,
2
y2
则过A(a,a),B(b,b)两点的直线与双曲线 -=1的公共点的个数为 ( ) 22
cos?sin?2
2
x2
A.0 B.1 C.2
2
D.3
2
【解题提示】求出过A(a,a),B(b,b)两点的直线为y=-可得结论.
sin?x,结合双曲线的渐近线方程,cos?【解析】选A.由于a,b是关于t的方程tcosθ+tsinθ=0的两个不等实根, 所以a+b=-
2
sin?,ab=0, cos?2
2
b2?a2过A(a,a),B(b,b)两点的直线为y-a= (x-a),
b?a2
即y=(b+a)x-ab,即y=-
sin?x, cos?y2x2因为双曲线 -=1的一条渐近线方程为
cos2?sin2?y=-
sin?x, cos?2
2
y2x2所以过A(a,a),B(b,b)两点的直线与双曲线 -=1的公共点的个数为0. 22cos?sin?2.（2014·辽宁高考文科·Ｔ8）已知点焦点为F，则直线AF的斜率为
A??2,3?在抛物线C:y?2px的准线上，记C的
2(A)?43(B)?1(C)?34(D)?12
【解题提示】由抛物线的定义知p的值，也就确定了抛物线的方程和焦点坐标；利用直线的斜率公式求出直线AF的斜率 【解析】选Ｃ.
p??22y?8x，其焦点F(2,0) p?4.2根据已知条件得，所以从而抛物线方程为
?3?03??.4 从而直线AF的斜率为?2?2二、填空题
3.（2014·安徽高考文科·Ｔ15）若直线l与曲线C满足下列两个条件：
(i)直线l在点P?x0,y0?处与曲线C相切；(ii)曲线C在P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C.
下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号) ①直线l:y?0在点P?0,0?处“切过”曲线C：y?x
2②直线l:x??1在点P??1,0?处“切过”曲线C：y?(x?1)
2③直线l:y?x在点P?0,0?处“切过”曲线C：y?sinx ④直线l:y?x在点P?0,0?处“切过”曲线C：y?tanx ⑤直线l:y?x?1在点P?1,0?处“切过”曲线C：y?lnx 【解题提示】根据各选项分别判断。
【解析】根据题意满足条件的有（1）（3）（4），剩余选项（2）（5）都在切线的一边。
答案：??④
2y4.（2014·安徽高考理科·Ｔ14））设F1,F2分别是椭圆x+=1(0 b2AF1?3BF1,AF2?x轴，则椭圆E的方程为__________ 【解题提示】构造直角三角形，利用线段平行、垂直关系及点A,B在椭圆上求得参数b. 【解析】如图所示，设A(c,y1),B(x2,y2)，作F1F2//BC,则 y13=?y1y213y2 ① 5c ② 32c3=?x2c-x24-ì2y12?c+2=1?b??2y22íx2+2=1b??222?c=1-b2又点A,B在椭圆上，所以?与①②联立解得b=。 3?23y所以椭圆方程为x+=1。 220?的距离5. （2014·湖南高考文科·Ｔ14）平面上以机器人在行进中始终保持与点F?1，0?且斜率为k的直线，和到直线x??1的距离相等.若机器人接触不到过点P??1，则k的取 值范围是 【解题提示】根据抛物线的定义和直线与圆锥曲线的关系求解。 【解析】把机器人看做一个动点，则根据抛物线定义知道它的轨迹为抛物线，其方程为 y2?4x，过点P??1，0?且斜率为k的直线方程为y?k?x?1?，两个方程联立 ?y2?4x22222，消去y得kx??2k?4?x?k?0，由题意??2k2?4?4k4?0， ??y?k?x?1???k2?1,所以k?（-?，-1）?（1，??）。 （-?，-1）?（1，??）答案： 三、解答题 6. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T20)(本小题满分12分)设F1,F2分别是椭圆 x2y2+2=1?a?b?0?的左右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个2ab交点为N. (1)若直线MN的斜率为 3,求C的离心率. 4(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且MN=5F1N,求a,b.