攻克一类含参绝对值函数最值问题中分类讨论的难关

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攻克一类含参绝对值函数最值问题中分类讨论的难关

作者:傅建红

来源:《数学金刊·高考版》2015年第09期

函数最值问题历来是高考的热点问题,纵观近年来各地的高考、模考试题,笔者发现,形如“f(x)=g(x)+(kx+b)x-a(g(x)为不超过二次的整式函数,k,b不全为零)”的二次型含参绝对值函数的最值问题正悄然兴起. 由于这类函数带有绝对值,且有参数在内“搅局”,因此多数学生感到迷雾重重、头绪纷乱,不知该如何找到问题的突破口. 显然,分类讨论、作图观察是解决含参函数最值问题的有效途径,但对于这类函数而言,我们该如何理清函数作图的头绪、破解分类讨论的迷局?本文就此问题进行探究. 破解策略

我们知道,函数y=f(x)(x∈D)的最值只能在其极值点(该点附近两侧的单调性相反)或区间D的端点(当端点为闭时)处取得. 从函数图象上看,函数的最大(小)值是图象最高(低)点的纵坐标. 换言之,只要能作出函数在定义域内的图象,则其最值情况就将一目了然. 然而,函数作图的依据是什么呢?显然是要了解函数的极值点是否在其的定义域内. 笔者探究发现,判断极值点是否在定义域内,最简明的方法就是将极值点与区间端点进行排序(比较大小),一旦明确这种排序,就可作出大致图象(仅关注单调性). 然而,对于本题中这类含参绝对值函数(其极值点可能与参数有关)而言,我们该如何将极值点与区间端点进行排序?这就需要进行分类讨论(分类讨论思想正是在这一背景下应运而生,它首先服务于排序,最终服务于作图). 具体操作流程可按以下“路线图”进行:去除绝对值→求出极值点→确定讨论点→划分讨论段→排序极值点→作出定义图.

(1)去除绝对值——以x-a的零点a为界(称a为“界点”),将函数f(x)=g(x)+(kx+b)x-a写成分段函数:f(x)=h1(x),x≥a,h2(x),x

(2)求出极值点——设二次函数h1(x),h2(x)的对称轴分别为x1,x2,则x1,x2显然可能是f(x)的极值点. 而由“连体函数”的图象特征知,“界点”a也有可能是极值点.因此,函数f(x)最多会有三个极值点(即x1,x2,a只是f(x)的可能极值点). (3)确定讨论点——设函数f(x)的定义域D=[m,n](m

(4)划分讨论段——设方程x1=x2,x1=a,x2=a的根(讨论点)分别为a1,a2,a3(设a1≤a2≤a3),将其插入于参数a的允许范围(设a∈R)之内,即可获得参数a的不同分段区间:(-∞,a1],(a1,a2],(a2,a3],(a3,+∞),它们即为参数a的分类讨论段.

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(5)排序极值点——通过对上述区间的分段讨论,即可对x1,x2,a的大小进行排序. 显然,不同讨论段内的排序也不同.

(6)作出定义图——根据x1,x2,a的每一排序,在直角坐标系下依次作三条虚线:x=x1,x=x2,x=a,然后分别作函数y=h1(x)(x≥a),y=h2(x)(x 应用举例

例1 (2015年·广东卷(文)改编)设a为实数,函数f(x)=(x-a)2+x-a-a(a-1),x∈R,求f(x)的单调区间及最小值.

解 易知f(x)=x2-(2a-1)x,x≥a,x2-(2a+1)x+2a,x

例2 (2009年·江苏卷(理)改编)设a为实数,函数f(x)=2x2+(x-a)x-a,x∈R,求f(x)的最小值.

解 易知f(x)=3x2-2ax+a2,x≥a,x2+2ax-a2,x

点评 例1中,极值点的大小关系已定,故无需讨论(不存在讨论点);而例2中,极值点的大小关系未定,故必须讨论(存在讨论点). 另外,由于例1、例2中函数的定义域都为R,故作图后直接观察图象,即可获知最值.

例3 (2015年·浙江大联考8(理)改编)设a为实数,求函数f(x)=xx-a+2a-8在[4,+∞)上的最小值.

解 易知f(x)=x2-ax+2a-8,x≥a,-x2+ax+2a-8,x0,所以f(x)min=f(a)=2a-8;②当 综上, f(x)min=2a-8,a≥4,8-2a,a

点评 与例1、例2不同的是,例3中函数的定义域不再是全体实数,此时作函数在定义域内的图象,可分两步进行:(1)先作出函数在全体实数上的图象(仅对极值点排序后作图);(2)再截取图象在定义域内的“片段”(由于函数图象与定义域的位置是相对的,先给出定义域考虑图象,与先画图象考虑定义域,这两种方法在具体作图时都是可行的,但前者要平移图象,而后者仅需平移区间,所以相对而言后者更易).

综上,本文通过分类讨论、作图观察的方法,详细阐述了函数f(x)=g(x)+(kx+b)x-a最值问题的解题思路和操作步骤(可为其他含参最值问题提供借鉴),理清了函数作图的头绪——排序极值点,破解了分类讨论的迷局——考虑如何排序极值点. 其思路是清晰明了的,其操作也是简单易行的.

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