第九节 圆锥曲线中的定点、定值、范围、最值问题
[考纲传真] 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想．
定点问题
xy
【例1】 已知椭圆E：＋2＝1(b＞0)的一个焦点与抛物线Γ：y2＝2px(p
9b＞0)的焦点F相同，如图，作直线AF与x轴垂直，与抛物线在第一象限交于A点，与椭圆E相交于C，D两点，且|CD|＝(1)求抛物线Γ的标准方程；
(2)设直线l不经过A点且与抛物线Γ相交于N，M两点，若直线AN，AM的斜率之积为1，证明l过定点．
x2y2
[解] (1)由椭圆E：＋2＝1(b＞0)，得b2＝9－c2，
9b由题可知F(c,0)，p＝2c， 把x＝c代入椭圆E的方程，得9－c2
∴yC＝.
3
2
102?9－c?
∴|CD|＝＝，解得c＝2.
33
2
2
10
. 3
c2?22?yC＝b?1－?，
?
9?
∴抛物线Γ的标准方程为y2＝4cx，即y2＝8x. (2)证明：由(1)得A(2,4)，
22
?y1??y2?设M?8，y1?，N?8，y2?，
????
∴kMA＝
y1－488
＝，k＝， NA
y2y1＋4y2＋41－28
88
由kMA·kNA＝·＝1，
y1＋4y2＋4得y1y2＋4(y1＋y2)－48＝0.(*) 设直线l的方程为x＝my＋t，
2
?y＝8x，由?得y2－8my－8t＝0， ?x＝my＋t，
∴y1＋y2＝8m，y1y2＝－8t， 代入(*)式得t＝4m－6，
∴直线l的方程为x＝my＋4m－6＝m(y＋4)－6， ∴直线l过定点(－6，－4)．
[规律方法] 圆锥曲线中定点问题的两种解法 ?1?引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. ?2?特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 过抛物线C：y2＝4x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C于A，B两点，且|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)若A关于x轴的对称点为D，求证：直线BD过定点，并求出该点的坐标．
[解] (1)易知点F的坐标为(1,0)，则直线l的方程为y＝k(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
由题意知k≠0，且Δ＝[－(2k2＋4)]2－4k2·k2＝16(k2＋1)＞0， 2k2＋4设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝，x1x2＝1，
k2由抛物线的定义知|AB|＝x1＋x2＋2＝8， 2k2＋42∴1， 2＝6，∴k＝1，即k＝±k∴直线l的方程为y＝±(x－1)．
(2)由抛物线的对称性知，D点的坐标为(x1，－y1)， 直线BD的斜率kBD＝
y2＋y1y2＋y14
＝22＝， x2－x1y2y1y2－y1
－44
4
(x－x1)， y2－y1
∴直线BD的方程为y＋y1＝
即(y2－y1)y＋y2y1－y21＝4x－4x1，
22∵y21＝4x1，y2＝4x2，x1x2＝1，∴(y1y2)＝16x1x2＝16，
即y1y2＝－4(y1，y2异号)，
∴直线BD的方程为4(x＋1)＋(y1－y2)y＝0，恒过点(－1,0)．
定值问题
【例2】 已知动圆P经过点N(1,0)，并且与圆M：(x＋1)2＋y2＝16相切． (1)求点P的轨迹C的方程；
(2)设G(m,0) 为轨迹C内的一个动点，过点G且斜率为k的直线l交轨迹C于A，B两点，当k为
何值时，ω＝|GA|＋|GB|是与m无关的定值？并求出该定值．
[解] (1)由题意，设动圆P的半径为r，则|PM|＝4－r，|PN|＝r，可得|PM|＋|PN|＝4－r＋r＝4，∴点P的轨迹C是以M，N为焦点的椭圆，∴2a＝4,2c＝2，∴b＝a2－c2＝3， x2y2
∴椭圆的方程为＋＝1.
43
x2y2
即点P的轨迹C的方程为＋＝1.
43
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知－2＜m＜2，直线l：y＝k(x－m)， y＝k?x－m?，??
由?x2y2
＋＝1，??43
22
得(3＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－12＝0，
4m2k2－128mk2
∴x1＋x2＝2，x1x2＝，
4k＋34k2＋3
∴y1＋y2＝k(x1－m)＋k(x2－m)＝k(x1＋x2)－2km＝－
2
2
2
2
2
6mk
， 4k2＋3
3k2?m2－4?
y1y2＝k(x1－m)(x2－m)＝kx1x2－km(x1＋x2)＋km＝，
4k2＋3
22222
∴|GA|2＋|GB|2＝(x1－m)2＋y21＋(x2－m)＋y2＝(x1＋x2)－2x1x2－2m(x1＋x2)＋2m＋(y1＋y2)－2y1y2
[－6m2?4k2－3?＋24?3＋4k2?]＝(k＋1).
?4k2＋3?22
要使ω＝|GA|2＋|GB|2的值与m无关，需使4k2－3＝0， 3
解得k＝±，此时ω＝|GA|2＋|GB|2＝7.
2
[规律方法] 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 ?1?求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值； ?2?求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得； ?3?求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得. x2y2 已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l交椭圆于A，
ab
B两点，△ABF1的周长为8，且△AF1F2的面积的最大时，△AF1F2为正三角形． (1)求椭圆C的方程；
|MN|2
(2)若MN是椭圆C经过原点的弦，MN∥AB，求证：AB为定值． [解] (1)由已知A，B在椭圆上，可得|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a， 又△ABF1的周长为8，
所以|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝8，即a＝2.