§1.3(2)推出与充分条件、必要条件
学习目标
1. 理解充要条件的概念;
2. 掌握充要条件的证明方法,既要证明充分性又要证明必要性. 学习过程
【任务一】学习准备
对于:p:一个四边形是矩形q:四边形的对角线相等. (1)将命题改写成若p则q的形式并判断真假; (2)写出该命题的逆命题,并判断真假; (3)p是q的什么条件? (4)q是p的什么条件?
【任务二】学习探究
探究任务一:充要条件概念
问题:已知p:整数a是6的倍数,q:整数a是2 和3的倍数.那么p是q的什么条件?q又是p的什么条件?
新知:如果p?q,那么p与q互为
试试:下列形如“若p,则q”的命题是真命题吗?它的逆命题是真命题吗?p是q的什么
条件?
(1)若平面?外一条直线a与平面?内一条直线平行,则直线a与平面?平行; (2)若直线a与平面?内两条直线垂直,则直线a 与平面?垂直.
【任务三】典型例题分析
例1 下列各题中,哪些p是q的充要条件?
(1) p: b?0,q:函数f(x)?ax2?bx?c是偶函数; (2) p: x?0,y?0, q:xy?0 (3) p: a?b , q:a?c?b?c
变式:下列形如“若p,则q”的命题是真命题吗?它的逆命题是真命题吗?哪些p是q的充要条件?
(1) p: b?0 , q:函数f(x)?ax2?bx?c是偶函数; (2) p: x?0,y?0, q:xy?0
(3) p: a?b , q:a?c?b?c
练习1:在下列各题中, p是q的什么条件? (1) p:x2?3x?4 , q:x?3x?4 (2) p: x?3?0, q:(x?3)(x?4)?0
(3) p: b2?4ac?0(a?0) ,
q:ax2?bx?c?0(a?0)
(4) p: x?1是方程ax2?bx?c?0的根 q:a?b?c?0
练习2. 下列各题中p是q的什么条件? (1)p:x?1,q:x?1?x?1; (2)p:|x?2|?3,q:?1?x?5 ;
(3)p:x?2,q:x?3?3?x ;
(4)p:三角形是等边三角形,q:三角形是等腰三角形.
【任务四】课堂达标练习
1. 下列命题为真命题的是( ).
A.a?b是a2?b2的充分条件 B.|a|?|b|是a2?b2的充要条件
C.x2?1是x?1的充分条件 D.???是tan??tan? 的充要条件 2.“x?MIN”是“x?MUN”的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
b2?4ac?0(a?0),3.设p:关于x的方程ax2?bx?c?0(a?0)有实根,则p是q的( ). q:
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.2x2?5x?3?0的一个必要不充分条件是( ).
111A.??x?3 B.??x?0 C.?3?x? D.?1?x?6
2225. 用充分条件、必要条件、充要条件填空. (1).x?3是x?5的
(2).x?3是x2?2x?3?0的 (3)两个三角形全等是两个三角形相似的
6.若a、b、c是常数,则“a?0且b2?4ac?0”是“对任意x?R,有ax2?bx?c?0”的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 7..若非空集合M是集合N的真子集,则“a?M或a?N”是“a?MIN”的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 8.已知p:a?0;q:ab?0,则p是q的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件
abc9.在?ABC中,设命题p:,命题q:?ABC是等边三角形,那么命题p??sinBsinCsinA是命题q的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件