1.将4个不同的球随机地放在5个不同的盒子里，求下列事件的概率: (1) 4个球全在一个盒子里; (2) 恰有一个盒子有2个球.
解:
把4个球随机放入5个盒子中共有54=625种等可能结果. （1）A={4个球全在一个盒子里}共有5种等可能结果,故
P(A)=5/625=1/125 (2) 5个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有
12C5C4?30种方法
4个球中取2个放在一个盒子里，其他2个各放在一个盒子里有12种方法
因此，B={恰有一个盒子有2个球}共有12×30=360种等可能结果. 故
36072P(B)??625125
2.某货运码头仅能容纳一只船卸货，而，甲乙两船在码头卸货时间分别为1小时和2小时，设甲、乙在24小时内随时可能到达，求它们中间任何一船都不需要等待码头空出的概率。 解：
设x,y分别为两船到达码头的时刻。
由于两船随时可以到达，故x,y分别等可能地在[0,60]上取值，如右图 方形区域，记为?。设A为“两船不碰面”，则表现为阴影部分。 ?={(x,y)0?x?24,0?y?24},A={(x,y)0?x?24,0?y?24,x?y?2或y?x?1},11有m(?)?242?576,m(A)??232??222?506.5
22m(A)所以，P(A)??0.8793m(?)
3.设商场出售的某种商品由三个厂家供货，其供应量之比是3：1：1，且第一、二、三厂家的正品率依次为98%、98%、96%，若在该商场随机购买一件商品，求：
(1) 该件商品是次品的概率。
(2) 该件次品是由第一厂家生产的概率。 解:
设A为该产品为次品，B1,B2,B3分别为三个厂家产品，则 (1) 由全概率公式可知 P(A)?P(B1)P(A|B1)?P(B2)P(A|B2)?P(B3)P(A|B3) =60%*(1-98%)+20%*(1-98%)+20%*(1-96%) =0.024(2) 由贝叶斯公式可知P(AB1)P(B1)P(A|B1)60%*(1-98%) ??0.024P(A)P(A) =0.5 P(B1|A)?
4.甲乙丙三台机床独立工作，在同一时间内他们不需要工人照顾的概率分别为0.7,08,0.9，求在这段时间内，最多只有一台机床需人照顾的概率。
解：
设A1、A2、A3分别代表这段时间内甲、乙、丙机床需要照管，Bi代表这段时间内恰有i台机床需要照管，i=0、1.
显然，B0与B1互斥，A1、A2、A3相互独立。并且：
P(A1）=0.3、P(A2）=0.2、P(A3）=0.1P(B0）=P(A1A2A3）=P(A1）P(A2）P(A3）=0.7?0.8?0.9=0.504，P(B1）=P(A1A2A3）+P(A1A2A3）+P(A1A2A3） =0.3?0.8?0.9+0.7?0.2?0.9+0.7?0.8?0.1=0.398故最多只有一台机床需要照顾的概率为：P(B0?B1）=P(B0）?P(B1）=0.902
5.设顾客在某银行的窗口等候服务的时间 X（以分钟计）服从参数为1/5的指数分布，某顾客在窗口等候服务，若超过10 分钟，他就离开．他一月内要到银行5 次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开的次数，试计算P {Y ≥ 1}． 解：
x?1?15e,x?0?X的密度函数为f(x)??5?0,x?0?x 1?1Y为伯努利概型，其中，n?5，p?P(X?10)??e5dx?e?2,510??
即Y~B(5,e?2)P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?C50?(e?2)0(1-e?2)5=1-0.4833=0.5167
6. 某种电池的寿命X（单位：小时）是一个随机变量，服从μ = 300，σ = 35 的正态分布，求这样的电池寿命在250 小时以上的概率，并求一允许限x，使得电池寿命在(300 – x，300 + x)内的概率不小于0.9．
?(1.4286)?0.9236;?(1.65)?0.95
解：
因X~N(?，?2)=N(300，352)故P(X?250)?1?F(250)?1??(??(1.4286)?0.9236又P(300?x?X?300?x)?F(300?x)?F(300?x)xxx)??(?)?2?()?1?0.9353535x即?()?0.95；35x故?1.65，x?57.7535 ??(7. 设随机变量X 在区间 (?1, 2)上服从均匀分布，求Y?e2x 的密度函数 解：
?1?,?1?x?2因X~U(?1，，有2)X的密度函数为fX(x)??3??0,其他dx1又因为Y?e2x严格单增，?,且-1 8.假定某人浏览网站时独立且随机点击任意网站，点击甲网站概率为p ,(0 各次点击是独立的，对任意的m,n(m 故(X,Y)的联合分布律为P(X?m,Y?n）=p2(1?p)n?2,m?1,2,L,n?1;n?2,3L(X,Y)关于X及Y的边缘分布律为P(X?m）=n）=(1?p)n?2n???P(X?m,Y?m?1n???p2m?11?p2(1?p)m?p?p(1?p)m?1,m?1,2,Ln?1n?1P(Y?n）=?P(X?m,Y?n）=?1?p2(1?p)n?2mm?1?(n?1)p2(1?p)n?2,n?2,3L故X、Y条件分布律分别为：当n?2,3L时P(X?mY?n）=p2(1?p)n?2(n?1)p2(1?p)n?2=1n?1,m?1,2,L,n?1;当m?1,2,L时P(Y?nX?m）=p2(1?p)n?2 p(1?p)m?1=p(1?p)n?m?1,n?m?1,m?2,L 9．设二维随机变量 (X,Y)的联合概率密度为f(x,y)???cxy?0(其中c为常数) 求: （1）常数C （2）求关于X,关于Y的边缘概率密度FX(x) ， FY(y) （3）求P???X?Y?1?2??的概率 解: 0?x?1,0?y?1其它 (1) 由密度函数性质可知 ???x??????y?????f(x,y)dxdy?110?x?10?y?1??cxydxdy?1 因此 c*?dx?xydy?1001 c?4(2) fX(x) =? fY(y) =??????????2x x?(0,1)f(x,y)dy???0 x?(0,1)?2y x?(0,1)f(x,y)dx???0 x?(0,1) 1?1???(3) P?X?Y??=1-P?X?Y??=1-??f(x,y)dxdy2?2???0?x?1/20?y?1/2 ?1-?dx?011/2?x04xydy?1?111?1212