第二章 多项式
1． 设f(x)，g(x)和h(x)是实数域上的多项式．证明：若f(x)2 = x g(x)2+x h(x)2，那么 f(x) = g(x) = h(x) = 0．
1． 求f(x)被g(x)除所得的商式和余式：
422 (i) f(x)?x?4x?1,g(x)?x?3x?1
5323 (ii) f(x)?x?x?3x?1,g(x)?x?3x?2
kx|f(x)证明：必要且只要x|f(x)
2． 令f1(x),f2(x),g1(x),g2(x)都是数域F上的多项式，其中f1(x)?0且g1(x)g2(x)|f1(x)f2(x)，f1(x)|g1(x)．证明：g2(x)|f2(x)．
423． 实数m, p , q满足什么条件时多项式x?mx?1能够整除多项式x?px?q？
、
nn4． 设F是一个数域，a?F．证明：x?a整除x?a．
k?nk?n?15． 考虑有理数域上多项式 f(x)?(x?1)?(2x)(x?1)
?????(2x)k(x?1)n，这里n和k都是非负整数．证明：xk?1|(x?1)f(x)?(x?1)k?n?1．
dn6． 证明：x?1整除x?1必要且只要d整除n
1． 计算以下各组多项式的最大公因式：
43232(i)f(x)?x?3x?x?4x?3,g(x)?3x?10x?2x?3；
432(ii) f(x)?x?(2?2i)x?(2?4i)x?(?1?2i)x?1?i；
g(x)?x2?(1?2i)x?1?i．
2． 设f(x)?d(x)f1(x)，g(x)?d(x)g1(x)．证明：若(f(x),g(x))?d(x)，且f(x)和g(x)不全为零，则(f(x),g(x))?1，反之，若(f(x),g(x))?1，则d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式．
?(x)|g(x)．从而可知?(x)|f(x)，既?(x)是f(x)、g(x)的一个公因式，所以?(x)|d(x)．由
定义知d(x)?(f1(x),g1(x))．
3． 证明：(i) (f,g)h是fh和gh的最大公因式；
4324324． 、设f(x)?x?2x?x?4x?2，f(x)?x?x?x?2x
?2都是有理数Q域上的多项式．求u(x),v(x)?Q[x]使得f(x)u(x)?g(x)v(x)?(f(xd),g(x))．
5． 设(f , g)=1．令n是任意正整数，证明：( f , gn ) = 1．由此进一步证明，对于任意正整数m，n，都有( f m, gn ) = 1．
、
6． 设( f , g ) = 1．证明：( f , f + g ) = ( f + g , g ) = 1．
证明：因为( f , g ) = 1．所以有u,v使uf + vg = 1，进而有( u – v ) f + v ( g + f ) = 1, 所以( f , g + f ) = 1.同理( g + f , g ) = 1利用互素性质得( f g , f + g ) = 1
7． 证明：对于任意正整数n都有( f , g )n = ( f n , g n )．
8． 证明：若是f ( x )与g ( x )互素，并且的次数都大于0．那么定理2.3.3里的可以如此选取，u ( x )次数低于g ( x )的次数，v ( x )次数低于f ( x )的次数，并且这样的u ( x )与v ( x )是唯一的．
229． 决定k，使x?(k?6)x?4k?2与x?(k?2)x?2k的最大公因式是一次的．
10． 证明：如果 ( f ( x ) , g ( x ) ) =１，那么对于任意正整数m，( f ( xm ) , g ( xm ) ) =１ 11． 设f ( x ) , g ( x )是数域F上的多项式．f ( x )与g ( x )的最小公陪式指的是F[x]中满足以下条件的一个多项式m ( x )：
(a) f(x) | m(x) 且 g(x) | m(x)；
(b) h(x)?F[x] 且 f(x) | h(x)，g(x) | h(x)，那么m(x) | h(x)．
(i) 证明： F[x]中任意两个多项式都有最小公倍式，并且除了可能的零次因式差别外，是唯一的．
(ii)设f(x)， g(x)都是最高次项系数是１的多项式．令[ f(x), g(x)]表示 f(x)与g(x)的最高次项系数是１的那个最小公倍式．证明： f(x) g(x)= (f(x) , g(x)) [ f(x), g(x)]．
12． 设g(x)|f1(x)???fn(x)，并且(fi(x), g(x)) =1, i =1,2,???,n?1. 证明 g(x) | fn(x)．
13． 设f1(x),???,fn(x)?F[x]．证明：
(i) (f1(x),???,fn(x))=((f1(x),???,fk(x)), (fk?1(x),???,fn(x))), 1?k?n-1.
(ii)f1(x),???,fn(x)互素的充要条件是存在多项式u1(x),???,un(x)?F[x]使得f1(x)u1(x)?????fn(x)un(x)?1
14． 设f1(x),???,fn(x)?F[x]．令I={f1(x)g1(x)?????fn(x) gn(x)|gi(x)?F[x], 1?i?n} ．比照定理１.４.２，证明：f1(x),???,fn(x)有最大公因式．［提示：如果f1(x),???,fn(x)不全为零，取d(x)是中次数最底的一个多项式，则d(x)就是f1(x),???,fn(x)的一个最大公因式．］
2.4 多项式的分解
1． 在有理数域上分解以下多项式为不可约因式的乘积：
2． 分别在复数域，实数域和有理数域上分解多项式x４+1为不可约因式的乘积．
3． 证明：g(x)２|f(x)２，当且仅当g(x)|f(x)． 4．
5． (i)求f(x)= x5-x4-2x3+2x2+x-1在Q(x)内的典型分解式； 6．
(ii)求f(x)= 2x5-10x+16x3-16x2+14x-6在R(x)内的典型分解式．
４
7． 证明：数域F上一个次数大于零的多项式f(x)是F[x]中某一不可约多项式的幂的充
分必要条件是对于任意g(x)?F[x],或者(f(x), g(x)) =1,或者存在一个正整数m使得f(x)|g(x)m.
8． 设p(x)是F[x]中一个次数大于零的多项式.如果对于任意f(x), g(x)?F[x]，只要p(x)|
f(x)g(x)就有p(x)| f(x)或p(x)| g(x),那么p(x)不可约．
2.5 重因式
1. 证明下列关于多项式的导数的公式： a) b)
(f(x)?g(x))'?f'(x)?g'(x)； (f(x)g(x))'?f'(x)g(x)?f(x)g'(x)
2. 设p(x)是f(x)的导数f'(x)的k?1重因式．证明： a) b)
p(x)未必是f(x)的k重因式；
p(x)是f(x)的k重因式的充分必要条件是p(x)|f(x)
x2xnf(x)?1?x????2!n!没有重因式． 3. 证明有理系数多项式
4. a,b应该满足什么条件，下列的有理系数多项式才能有重因式？
43a) x?3ax?b b) x?4ax?b
5. 证明：数域F上的一个n次多项式f(x)能被它的导数整除的充分必要条件是：
f(x)?a(x?b)n，这里a,b是F中的数．
2.6 多项式函数 多项式的根
1.设f(x)=2x5-3x4-5x3+1.求f(3),f(-2).
2.数环R的一个数c说是f(x)?R(x)的一个k重根，如果f(x)可以被(x-c)k整除，但不能被(x-c)k+1整除．判断5是不是多项式f(x)=3x5-224x3+742x2+5x +50的根.如果是的话,是几重根?
3.设2x3-x2+3x-5=a(x-2)3+b(x-2)2+c(x-2)+d.求a,b,c,d. 4.将下列多项式f(x)表成x-a的多项式.
a) f(x)= x5 ,a=1; b) f(x)=x4-2x2+3,a=-2.
5.求一次数小于4的多项式,使f(2)=3,f(3)=-1,f(4)=0,f(5)=2.
?6.求一个2次多项式,使它在x =0,2f(x)??4x(x??),?处于函数 sinx有相同的值．结果：
7.令f(x) , g(x),是两个多项式,并且f(x3) +x g(x3)可以被x2+x+1.证明: f(1) = g(1) =0. 8.令c是一个复数,且是Q[x]中一个非零多项式的根.令
J={ f(x)?Q[x] | f(c) = 0}．
?2b) p(x)在Q[x]中不可约.如果c=2?3,求上述的p(x)．
9.设C[x]中多项式f(x)?0且f(x)| f(xn),n是一个对于1的整数.证明: f(x)的根只能是零或单位根.
2.7 复数和实数域上多项式
n 1.设n次多项式f(x)?a0x???an?1x?an的根是?1,?,?n.
a) 求以c?1,?,c?n为根的多项式,这里c是一个数;
1,?,1an(假定?1,?,?n?0)为根的多项式.
b) 以?12.设f(x)是一个多项式,用f(x)表示把f(x)的系数分别换成它们的共轭数后所得多项式.证明:
a) 若是g(x)|f(x),那么g(x)|f(x);
b) 若是d(x)是f(x)和f(x)的一个最大公因式,并且d(x)的最高次项系数是1,那么d(x)是一个实系数多项式.
3.给出实系数四次多项式在实数域上所有不同类型的典型分解式. 4.在复数和实数域上分解xn-2为不可约因式的乘积.
5.证明:数域F上任意一个不可约多项式在复数域内没有重根.
2.8 有理数域上多项式
1.证明以下多项式在有理域上不可约: a) x4-2x3+8x-10; b) 2x5+18x4+6x2+6 c) x4-2x3+2x-3 d) x6+x3+1
2利用艾森斯坦判断法,证明:若是p1,p2,?,pt是t个不相同的素数,而n是一个大于1的
n整数,那么p1p2?pt是一个无理数.
3.设f(x)是一个整数系数多项式,证明:若是f(0)和f(1)都是奇数,那么f(x)不能有整数根.
4.求以下多项式的有理数根: a) x3-6x2+15x-14; b) 4x4-7x2-5x-1;
51 c) x5-x4-2x3+2x2-2x-3.