2.9 多元多项式
1.写出一个数域F上三元三次多项式的一般形式.
2.设 f (x1,?,xn)是一个r次齐次多项式.t是任意数.证明：
f (tx1,?,txn)=trf (x1,?,xn).
3. 设f(x1,?,xn)是数域F上一个n元齐次多项式,证明:如果f(x1,?,xn)=g(x1,?,xn)h(x1,?,xn),则g,h也是n元齐次多项式. 4.把多项式x3+y3+z3+3xyz写成两个多项式的乘积.
5.设F是数域. f,g?F[x1,?,xn]是F上n元多项式. 如果存在h?F[x1,?,xn]使得f=gh,那么就说g是f的一个因式.或者说g|f.
a) 证明,每一f都可以被零次多项式c和cf整除c?F, c?0.
b) f?F[x1,?,xn]说是不可约的,如果除了a)中那种类型的因式外f没有其它因式,证明在F[x,y]里多项式x,y,x+y,x2-y都不可约.
c) 举反例证明,当n?2时,类似于一元多项式的带余除法不成立.
d) f,g?F[x1,?,xn]说是互素的,如果除了零次多项式外,它们没有次数大于零的公因式.证明x,y?F[x,y]是互素的多项式.能是否找到u(x,y), v(x,y) ?F[x,y],使得x u(x,y)+y v(x,y)=1?
2.10 对称多项式
1. 写出某一数环R上三元三次对称多项式的一般形式.
2.令R[x1,?,xn]是数环R上n元多项式环, S是由一切n元对称多项式组成的R [x1,?,xn]的子集.证明存在R [x1,?,xn]到S的一个双射.
3.把下列多元多项式表成初等对称多项式的多项式: a)
?xx312; b)
?x41; c)
?xxx;
221234.证明:如果一个三次多项式x3+ax2+bx+c的一个根的平方等于其余两个根的平方和那么
4232这个多项式的系数满足以下关系: a(a?2b)?2(a?2ab?2c).
5.设?1,?,?n是某一数域F上多项式xn+a1xn-1???an-1x+an在复数域内的全部根.证明:
?2,
,?n的每一个对称多项式都可以表成F上关于?1的多项式.