阶段复习检测(一)
集合与常用逻辑用语 函数、导数及其应用
[对应学生用书P299] (时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
?x2y2
1．设集合A＝?x，y|＋＝1，B＝{(x，y)|y＝3x}，则A∩B的子集的个数是( )
416?
A．1 C．3 D [由函数
B．2 D．4
y＝3x的图象及椭圆
x2
4
＋＝1知A∩B含2个元素，所以A∩B的子集的个
16
y2
数为22＝4个．]
2．曲线y＝x2＋ln x在点(1,1)处的切线方程为( ) A．3x－y－2＝0 C．3x＋y－4＝0
B．x－3y＋2＝0 D．x＋3y－4＝0
1
A [y′＝2x＋，故y′|x＝1＝3，故在点(1,1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，化简整理
x得3x－y－2＝0.]
3．(2019·安徽蚌埠一模)设a>0，且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是增函数”是“函数g(x)＝xa在R上是增函数”的( )
A．充分不必要条件 C．充要条件 D [由函数
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3
R上是增函数知，a>1；当a＝时，g(x)的定义域为(0，＋∞)，
2
f(x)＝ax在
不能满足
x在
g(x)＝xa在
?1?11
R上是增函数；而当a＝时，g(x)＝x在R上是增函数，此时f(x)＝??
33?3?
R上是减函数．]
4．(2019·贵州贵阳月考)已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足f(x)＝
f′1x＋x，则f ′
(1)＝( )
A．－1 1
C．
2C [由f(x)＝
1B．－
2D．1
f′1x＋x，得f ′(x)＝－
f′1x2
＋1，
1
故f ′(1)＝－f ′(1)＋1，即f ′(1)＝.]
2
5．(2019·山东日照模拟)设曲线y＝sin x上任一点(x，y)处切线斜率为g(x)，则函数y＝x2g(x)的部分图象可以为( )
C [曲线y＝sin x上任一点(x，y)处切线斜率为g(x)，∴g(x)＝cos x，则函数y＝x2g(x)＝x2·cos x，设f(x)＝x2·cos x，则f(－x)＝f(x)，cos(－x)＝cos x，∴y＝f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，排除A、B．令x＝0，得f(0)＝0.排除D．]
6．若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是( ) A．(－∞，－2] C．[2，＋∞)
B．(－∞，－1] D．[1，＋∞)
11
D [由条件知f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥在(1，＋∞)上恒成立，∵x>1，
xx1
∴0<<1，∴k≥1.]
x7．(2019·陕西宝鸡模拟)已知偶函数f(x)对?x∈R满足f(2＋x)＝f(2－x)，且当－3≤x≤0时，f(x)＝log5(2－x)，则f(2 015)的值为( )
A．2 015 C．1
B．2 D．0
C [∵f(2＋x)＝f(2－x)，∴f(4＋x)＝f[2－(2＋x)]＝f(－x)．又∵f(x)为偶函数，即f(－x)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，
则f(x)是以4为周期的周期函数，
∴f(2 015)＝f(3)＝f(－3)＝log5[2－(－3)]＝1.]
8．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为( )
A．3 C．6
B．4 D．5
A [设圆柱的底面半径为R，母线长为l，则V＝πR2l＝27π，∴l＝
27
，要使用料最省，2
R只须使圆柱的侧面积与下底面面积之和S最小．由题意，S＝πR2＋2πRl＝πR2＋2π·
27
. ∴S′
R54π
＝2πR－2，令S′＝0，得R＝3，则当R＝3时，S最小．]
R9．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝( ) A．－4 C．4
B．－2 D．2
D [由题意可得f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2， 则f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
x f′(x) f(x) (－∞，－2) ＋ －2 0 极大值 (－2,2) － 2 0 极小值 (2，＋∞) ＋