高考数学一轮总复习 第9章 平面解析几何 第3节 椭圆及其性质高考AB卷 理

【大高考】2017版高考数学一轮总复习 第9章 平面解析几何 第3

节 椭圆及其性质高考AB卷 理

椭圆的定义及其方程

x2y23

1.(2014·大纲全国,6)已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,

ab3

过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为43,则C的方程为( ) A.+=1

32C.

x2y2x2

12

B.+y=1 3D.

+=1 124

x2

2

+=1 8

y2x2y2

解析 由椭圆的性质知|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a,∴△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=43,∴a=3.又e=程为+=1,故选A.

32答案 A

3222

,∴c=1.∴b=a-c=2,∴椭圆的方3

x2y2

x2y2

2.(2013·全国Ⅰ,10)已知椭圆E:2+2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交

abE于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为( )

A.C.

+=1 4536+=1 2718

x2x2

y2y2

B.D.

+=1 3627+=1 189

x2x2

y2

y2

解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),∵A,B在椭圆上,

??∴?xy??a+b=1 ②

2

22

222

x2y211

2+2=1, ①ab

①-②,得

(x1+x2)(x1-x2)(y1+y2)(y1-y2)

+=0, 22abb2(y1+y2)(y1-y2)

即2=-, a(x1+x2)(x1-x2)

∵AB的中点为(1,-1),

1

∴y1+y2=-2,x1+x2=2,

y1-y20-(-1)1b21而=kAB==,∴2=. x1-x23-12a2

又∵a-b=9,∴a=18,b=9. ∴椭圆E的方程为+=1,故选D.

189答案 D

3.(2012·大纲全国,3)椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为x=-4,则该椭圆的方程为( ) A.

+=1 1612

2

2

2

2

x2y2

x2y2

B.D.

+=1 128+=1 124

x2x2

y2y2

C.+=1 84

解析 ∵2c=4,∴c=2.

x2y2

a22222

又∵=4,∴a=8,b=a-c=4.

c∴椭圆方程为+=1,故选C.

84答案 C

椭圆的几何性质

x2y2

x2y2

4.(2016·全国Ⅲ,11)已知O为坐标原点,F是椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左焦点,A,Bab分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为( ) 1A. 32C. 3

解析 设M(-c,m),则E?0,

1B. 23D. 4

??

am?am?0,?,又B,D,M,OE的中点为D,则D???a-c??2(a-c)?

mm1

三点共线,所以=,a=3c,e=. 2(a-c)a+c3

答案 A

x2y23a5.(2012·全国,4)设F1,F2是椭圆E:2+2=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上

ab2

一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为( )

2

1A. 23C. 4

3a解析 设直线x=与x轴交于点M,

2

2B. 34D. 5

则∠PF2M=60°,在Rt△PF2M中,PF2=F1F2=2c,

3a-c3aF2M21c33F2M=-c,故cos 60°===,解得=,故离心率e=. 2PF22c2a44答案 C

x2y2

6.(2016·全国Ⅱ,20)已知椭圆E:+=1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)

t3

的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA. (1)当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积; (2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围. 解 (1)设M(x1,y1),则由题意知y1>0. 当t=4时,E的方程为+=1,A(-2,0).

43由|AM|=|AN|及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为因此直线AM的方程为y=x+2.

将x=y-2代入+=1得7y-12y=0,

431212

解得y=0或y=,所以y1=. 77

11212144

因此△AMN的面积S△AMN=2×××=.

27749

π. 4

x2y2

x2y2

2

x2y2

(2)由题意t>3,k>0,A(-t,0),将直线AM的方程y=k(x+t)代入+=1得(3

t3t2k2-3tt(3-tk2)

+tk)x+2t·tkx+tk-3t=0.由x1·(-t)=, 2得x1=2

3+tk3+tk2

2

2

22

6t(1+k)

故|AM|=|x1+t|1+k=. 2

3+tk2

2

3

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