2016年清华大学自主招生暨领军计划试题
1．已知函数f(x)?(x2?a)ex有最小值，则函数g(x)?x2?2x?a的零点个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．取决于a的值
2． 已知?ABC的三个内角A,B,C所对的边为a,b,c．下列条件中，能使得?ABC的形状唯一确定的有（ ）
A．a?1,b?2,c?Z B．A?1500,asinA?csinC2asinC?bsinB C．cosAsinBcosC?cos(B?C)cosBsinC?0,C?600D．a?3,b?1,A?600 3．已知函数f(x)?x2?1,g(x)?lnx，下列说法中正确的有（ ）
A．f(x),g(x)在点(1,0)处有公切线B．存在f(x)的某条切线与g(x)的某条切线平行 C．f(x),g(x)有且只有一个交点D．f(x),g(x)有且只有两个交点
4．过抛物线y2?4x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点，M为线段AB的中点．下列说法中正确的有（ ）
A．以线段AB为直径的圆与直线x??3一定相离B．|AB|的最小值为4 2C．|AB|的最小值为2D．以线段BM为直径的圆与y轴一定相切
x2y25．已知F1,F2是椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，P是椭圆C上一点．下列说法中正确的
ab有（ ） A．a?B．a?2b时，满足?F1PF2?900的点P有两个 2b时，满足?F1PF2?900的点P有四个
C．?PF1F2的周长小于4a
a2D．?PF 1F2的面积小于等于
26．甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两花获奖．比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测： 甲：两名获奖者在乙、丙、丁中； 乙：我没有获奖，丙获奖了； 丙：甲、丁中有且只有一个获奖；
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丁：乙说得对．
已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是（ ） A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
7．已知AB为圆O的一条弦（非直径），OC?AB于C，P为圆O上任意一点，直线PA与直线OC相交于点M，直线PB与直线OC相交于点N．以下说法正确的有（ ） A．O,M,B,P四点共圆 C．A,O,P,N四点共圆
B．A,M,B,N四点共圆 D．以上三个说法均不对
8．sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC是?ABC为锐角三角形的（ ） A．充分非必要条件 C．充分必要条件
B．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件
9．已知x,y,z为正整数，且x?y?z，那么方程A．8
B．10
1111???的解的组数为（ ） xyz2
D．12
C．11
10．集合A?{a1,a2,?,an}，任取1?i?j?k?n,ai?aj?A,aj?ak?A,ak?ai?A这三个式子中至少有一个成立，则n的最大值为（ ） A．6
B．7
C．8
D．9
011．已知??10,??610,??121，则下列各式中成立的有（ ）
A．tan?tan??tan?tan??tan?tan??3B．tan?tan??tan?tan??tan?tan???3
C．
tan??tan??tan?tan??tan??tan??3D．??3
tan?tan?tan?tan?tan?tan?12．已知实数a,b,c满足a?b?c?1，则4a?1?4b?1?4c?1的最大值也最小值乘积属于区间（ ）
A．(11,12) B．(12,13) C．(13,14) D．(14,15) 13．已知x,y,z?R,x?y?z?1,x?y?z?1，则下列结论正确的有（ ） A．xyz的最大值为0 C．z的最大值为
B．xyz的最大值为?D．z的最小值为?2224 272 31 314．数列{an}满足a1?1,a2?2,an?2?6an?1?an(n?N*)，对任意正整数n，以下说法中正确的有（ ）
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2A．an?1?an?2an为定值 B．an?1(mod9)或an?2(mod9)
C．4an?1an?7为完全平方数 D．8an?1an?7为完全平方数 15．若复数z满足z?1?1，则z可以取到的值有（ ） z
B．?A．
1 2
1 2 C．
5?1 2 D．
5?1 216． 从正2016边形的顶点中任取若干个，顺次相连构成多边形，若正多边形的个数为（ ） A．6552 B．4536 C．3528 D．2016
x2y21117．已知椭圆2?2?1(a?b?0)与直线l1:y?x,l2:y??x，过椭圆上一点P作l1,l2的平行线，
22ab分别交l1,l2于M,N两点．若|MN|为定值，则A．2
B．3
a?（ ） b
D．5
C．2
18． 关于x,y的不定方程x2?165?2y的正整数解的组数为（ ） A．0
B．1
C．2
D．3
19．因为实数的乘法满足交换律与结合律，所以若干个实数相乘的时候，可以有不同的次序．例如，三个实数a,b,c相乘的时候，可以有(ab)c,(ba)c,c(ab),b(ca),?等等不同的次序．记n个实数相乘时不同的次序有In种，则（ ）
20．甲乙丙丁4个人进行网球淘汰赛，规定首先甲乙一组、丙丁一组进行比赛，两组的胜者争夺冠军．4个人相互比赛的胜率如表所示：表中的每个数字表示其所在的选手击败其所在列的选手的概率，例如甲击败乙的概率是0.3，乙击败丁的概率是0.4．那么甲刻冠军的概率是．
21．在正三棱锥P?ABC中，?ABC的边长为1．设点P到平面ABC的距离为x，异面直线AB,CP的距离为y．则limy?．
x??22．如图，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，中心为O,BF?则四面体OEBF的体积为．
11BC,A1E?A1A，24 第 3 页 共 3 页