正弦定理
【学习目标】
1.通过对直角三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，初步学会运用由特殊到一般的思维方法发现数学规律；
2.会利用正弦定理解决两类解三角形的问题； （1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而求出其它边角）. 【要点梳理】
要点一：学过的三角形知识 1.?ABC中
（1）一般约定：?ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c； （2）A?B?C?180；
（3）大边对大角，大角对大边，即B?C?b?c； 等边对等角，等角对等边，即B?C?b?c；
（4）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即a?c?b，a?c?b. 2.Rt?ABC中，?C?90， （1）B?A?90， （2）a?b?c （3）sinA?222000ab，sinB?，sinC?1； ccbacosA?，cosB?，cosC?0
cc要点二：正弦定理及其证明
abc正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即： ??sinAsinBsinC直角三角形中的正弦定理的推导
abC?，1 B?， sin， sinccabc即：c?，c?，c?，
sinAsinBsinCabc??∴． sinAsinBsinC证明：sinA?斜三角形中的正弦定理的推导 证明： 法一：向量法
（1）当?ABC为锐角三角形时
过A作单位向量j垂直于AC，则AC+CB=AB 两边同乘以单位向量j，得j?(AC+CB)=j?AB， 即j?AC?j?CB?j?AB
∴|j|?|AC|cos900?|j|?|CB|cos(90?C)?|j|?|AB|cos(90?A)，
∵j?AC?0，|j|?1，|CB|?a，|AB|?c，cos(90?C)?sinC，cos(90?A)?sinA
ac?， sinAsinCbc?同理：若过C作j垂直于CB得： sinBsinCabc?? ∴， sinAsinBsinC（2）当?ABC为钝角三角形时
∴asinC?csinA， ∴
设?A?90，过A作单位向量j垂直于向量AC， 同样可证得：
法二：圆转化法
（1）当?ABC为锐角三角形时
如图，圆O是?ABC的外接圆，直径为AD?2R，则?C??D，
∴sinC?sinD?∴2R?abc??． sinAsinBsinCc， 2Rc（R为?ABC的外接圆半径） sinCab同理：2R?，2R?
sinAsinBabc???2R 故：
sinAsinBsinC（2）当?ABC为钝角三角形时
如图，sinA?sinE?sinF?a. 2R法三：面积法
任意斜?ABC中，如图作CH?AB，则CH?ACsinA
111AB?CH?AB?ACsinA?bcsinA 22211同理：S?ABC?absinC，S?ABC?acsinB
22111故S?ABC?absinC?acsinB?bcsinA，
222S?ABC?两边同除以即得：
1
abc 2
abc?? sinAsinBsinC要点诠释：
（1）正弦定理适合于任何三角形； （2）可以证明
abc???2R（R为?ABC的外接圆半径）； sinAsinBsinC（3）每个等式可视为一个方程：知三求一。 （4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。 要点三：解三角形的概念
一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素.任何一个三角形都有六个元素：三边、和三角.
在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形.
有了关于解三角形的有关定理（如勾股定理、三角形的内角和定理、正弦定理，还有即将学习的余弦定理等），三角学特别是测量学得到了一次飞跃，它可以由已知的三角形的边和角来推断未知的边和角.
要点四：正弦定理在解三角形中的应用
利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角； 要点诠释：
已知a，b和A，用正弦定理求B时的各种情况；
无解?a?bsinA?一解(直角)?a?bsinA(1)若A为锐角时：?
bsinA?a?b二解(一锐，一钝)??a?b一解(锐角)?如图：