第七章基本知识小结
⒈刚体的质心
定义：r???m?ciri/mr??r?c?dm/?dm
求质心方法：对称分析法，分割法，积分法。 ⒉刚体对轴的转动惯量
定义：I??m2ir2iI??rdm
平行轴定理 Io = Ic+md2 正交轴定理 Iz = Ix+Iy. 常见刚体的转动惯量：（略） ⒊刚体的动量和质心运动定理
?p?mv?c?F??ma?c
⒋刚体对轴的角动量和转动定理
L?I????I?
⒌刚体的转动动能和重力势能
E2k?12I?Ep?mgyc
⒍刚体的平面运动=随质心坐标系的平动+绕质心坐标系的转动动力学方程：
?F??ma?c??c?Ic?c
（不必考虑惯性力矩）
动能：E1212k?2mvc?2Ic?c
⒎刚体的平衡方程
?F??0， 对任意轴
???0
7.1.2 汽车发动机的转速在12s内由1200rev/min增加到3000rev/min.⑴假设转动是匀加速转动，求角加速度。⑵在此时间内，发动机转了多少转？
解：⑴?????(3000?1200)2?/60?t?15.7rad/s212 ⑵????2??20(30002?12002)(2?/60)22??2?15.7?26.39?102rad
对应的转数=???26.3922?2?3.14?10?420
7.1.3 某发动机飞轮在时间间隔t内的角位移为
??at?bt3?ct4(?:rad,t:s)。求t时刻的角速度和角加速度。
解：??d?dt?a?3bt2?4ct3??d?dt?6bt?12ct2
7.1.4 半径为0.1m的圆盘在铅直平面内转动，在圆盘平面内建立o-xy坐标系，原点在轴上，x和y轴沿水平和铅直向上的方向。边缘上一点A当t=0时恰好在x轴上，该点的角坐标满足θ=1.2t+t2 (θ:rad,t:s)。⑴t=0时，⑵自t=0
开始转45o时，⑶转过90o时，A点的速度和加速度在x和y轴上的投影。 y
解：??d?dt?1.2?2t??d?dt?2.0 o A x ⑴t=0时，??1.2,vx?0vy??R?1.2?0.1?0.12m/s
aa222x??n??vy/R??0.12/0.1??0.144m/sa
y?a???R?2.0?0.1?0.2m/s2⑵θ=π/4时,由θ=1.2t+t2,求得t=0.47s,∴ω=1.2+2t=2.14rad/s
vx???Rcos45???2.14?0.1?2/2??0.15m/svy??Rsin45??2.14?0.1?2/2?0.15m/s
a2x???Rcos45???Rcos45???Rcos45?(???2)??0.1?22(2.0?2.142)??0.465m/s2a
y??Rsin45???2Rsin45??Rsin45?(???2)?0.1?22(2.0?2.142)??0.182m/s2⑶θ=π/2时,由θ=1.2t+t2,求得t=0.7895s,ω=1.2+2t=2.78rad/s
vx???R??2.78?0.1??0.278m/svy?0ax???R??2.0?0.1??0.2m/s2
a2y???R??2.782?0.1??0.77m/s2
7.1.5 钢制炉门由两个各长1.5m的平行臂 A C AB和CD支承，以角速率ω=10rad/s逆时针转
动，求臂与铅直成45o时门中心G的速度和加 B D 速度。
· 解：因炉门在铅直面内作平动，所以门中 G 心G的速度、加速度与B点或D点相同，而B、 D两点作匀速圆周运动,因此
vG?vB??AB?10?1.5?15m/s，方向指向右下方，与水平方
向成45o；
aG?aB??2AB?102?1.5?150m/s2，方向指向右上方，与
水平方向成45o
7.1.6 收割机拨禾轮上面通常装4到 压板 6个压板，拨禾轮一边旋转，一边随收割 机前进。压板转到下方才发挥作用，一方
面把农作物压向切割器，一方面把切下来 切割器
的作物铺放在收割台上，因此要求压板运
动到下方时相对于作物的速度与收割机前进方向相反。
已知收割机前进速率为1.2m/s，拨禾轮直径1.5m，转速22rev/min,求压板运动到最低点挤压作物的速度。
解：拨禾轮的运动是平面运动，其上任一点的速度等于拨禾轮轮心C随收割机前进的平动速度加上拨禾轮绕轮心转动的速度。压板运动到最低点时，其转动速度方向与收割机前进速度方向相反，压板相对地面（即农作物）的速度
v?vc??R?1.2?2??22.560?12??0.53m/s
负号表示压板挤压作物的速度方向与收割机前进方向相反。
7.1.7飞机沿水平方向飞行，螺旋桨尖端所在半径为150cm，发动机转速2000rev/min. ⑴桨尖相对于飞机的线速率等于多少？⑵若飞机以250km/h的速率飞行，计算桨尖相对地面速度的大小，并定性说明桨尖的轨迹。
解：⑴桨尖相对飞机的速度：
v'??r?2000?2?60?1.5?314m/s
⑵桨尖相对地面的速度：v??v?'?v?机地，飞机相对地面的速度与螺旋桨
相对飞机的速度总是垂直的，v机地?250?10360?60?69.4m/s
所以，v?v'2?v22机地?314?69.42?321.6m/s
显然，桨尖相对地面的运动轨迹为螺旋线
7.1.8桑塔纳汽车时速为166km/h，车轮滚动半径为0.26m，发动机转速与驱动轮转速比为0.909, 问发动机转速为每分多少转？
解：设车轮半径为R=0.26m，发动机转速为n1, 驱动轮转速为n2, 汽车速度为v=166km/h。显然，汽车前进的速度就是驱动轮边缘的线速度，
v?2?Rn2?2?Rn1/0.909，所以：
n909v0.909?166?103431?0.2?R?2?3.14?0.26?9.24?10rev/h?1.54?10rev/min
7.2.2 在下面两种情况下求直圆锥体的总质量和质心位置。⑴圆锥体为匀质；⑵密度为h的函数：ρ=ρ0（1-h/L）,ρ0为正常数。
解：建立图示坐标o-x,据对称性分析， L 质心必在x轴上,在x坐标处取一厚为dx o r a x 的质元 dm=ρπr2
dx，∵r/a=x/L，r=ax/L
∴ dm=ρπa2x2dx/L2 h ⑴圆锥体为匀质，即ρ为常数， L总质量：m??dm???a2L2?0x2dx?13??a2L 23质心：x?xdm??axdx/L2c??dm??3??a2L/3?L3?L330xdx?4L
⑵???1?h?x0(L)??0(1?LL)??0Lx
总质量：m??dm??0?a2L3?L0x3dx?124?0?aL 质心：xc??xdm4L?dm?L4?0x4dx?45L
7.2.3 长度为L的匀质杆，令其竖直地立于光滑的桌面上，然后放开手，由于杆不可能绝对沿铅直方向，故随即到下。求杆子的上端点运动的轨迹（选定坐标系，并求出轨迹的方程式）。
解：设杆在o-xy平面内运动。因杆 y 在运动过程中，只受竖直向上的支承力和 竖直向下的重力的作用，在水平方向不受 外力作用，∴vcx=0,acx=0，即质心C无水
平方向的移动，只能逆着y轴作加速直线
运动，直到倒在桌面上。 o x
取杆的上端点的坐标为x,y，匀质杆的质心在其几何中心，由图示的任一瞬间的几何关系可知：4x2+y2=L2(x≥0,y≥0)
7.3.1 ⑴用积分法证明：质量为m常为l的匀质细杆对通过中心且与杆垂
直的轴线的转动惯量等于1212ml；⑵用积分法证明：质量为m半径为R的匀
质薄圆盘对通过中心且在盘面内的轴线的转动惯量等于
14mR2
证明：⑴取图示坐标，在坐标x处取一线元，dm?mldx，它对y轴的
转动惯量为：dI?my lx2dx，
x 整个细杆对y轴的转动惯量：
-l/2 dx l/2 l/2I?m?x2dx?m3ml3lx|l/2?l/2?3l(l3l318?8)?12ml2
?l/2⑵在坐标x处取细杆状质元，
R dm?m222R2?2R?xdx?2m??R2R?x2dx
x θ x 它对x轴的转动惯量：
dI?1dm(2R2?x2)2?1222m123dm(R?x)?3?R2(R2?x2)3/2dx
R整个圆盘对x轴的转动惯量：I?2m3?R2?(R2?x2)3/2dx ?R为了能求出积分，作如下变换：x?Rcos?,dx??Rsin?d?
(R2?x2)3/2?(R2?R2cos2?)3/2?(R2sin2?)3/2?R3sin3?