《计算机常用算法与程序设计案例教程》
习题解答提要
习题1
1-1 分数分解算法描述
把真分数a/b分解为若干个分母为整数分子为“1”的埃及分数之和： （1） 寻找并输出小于a/b的最大埃及分数1/c； （2） 若c>900000000，则退出；
（3） 若c≤900000000，把差a/b-1/c整理为分数a/b，若a/b为埃及分数，则输出后结束。
（4） 若a/b不为埃及分数，则继续（1）、（2）、（3）。 试描述以上算法。
解：设d?int(b) (这里int(x)表示取正数x的整数)，注意到d?b?d?1，有
aa a?1?a(d?1)?bbd?1b(d?1)
算法描述：令c=d+1，则 input (a,b) while(1)
{c=int(b/a)+1;
if(c>900000000) return; else
{ print(1/c+); a=a*c-b;
b=b*c; // a,b迭代，为选择下一个分母作准备 if(a==1)
{ print(1/b);return;} } }
1-2 求出以下程序段所代表算法的时间复杂度 （1）m=0;
for(k=1;k<=n;k++)
for(j=k;j>=1;j--) m=m+j;
解：因s=1+2+…+n=n(n+1)/2
2
时间复杂度为O(n)。
（2）m=0; for(k=1;k<=n;k++) for(j=1;j<=k/2;j++) m=m+j;
解：设n=2u+1，语句m=m+1的执行频数为 s=1+1+2+2+3+3+…+u+u=u(u+1)=(n?1)(n+1)/4 设n=2u，语句m=m+1的执行频数为
22
s=1+1+2+2+3+3+…+u=u=n/4
2
时间复杂度为O(n)。
（3）t=1;m=0;
for(k=1;k<=n;k++) {t=t*k;
for(j=1;j<=k*t;j++) m=m+j; }
解：因s=1+2×2!+ 3×3!+…+ n×n!=(n+1)!?1 时间复杂度为O((n+1)!).
（4）for(a=1;a<=n;a++) {s=0;
for(b=a*100?1;b>=a*100?99;b?=2) {for(x=0,k=1;k<=sqrt(b);k+=2) if(b%k==0)
{x=1;break;} s=s+x; } if(s==50)
printf(\}
解：因a循环n次；对每一个a,b循环50次；对每一个b,k循环b/2次。因而k循环体的执行次数s满足
s＜25(99?199??100n?1)＜250(1?2??n)4n?3＜250?n＜250nn6
时间复杂度为O(nn)。
1-3 若p(n)是n的多项式，证明：O(log(p(n)))=O(logn)。
mm-1
证：设m为正整数，p(n)=a1×n+a2×n+…+am×n， 取常数c>ma1+(m-1)a2+…+am, 则
log(p(n))=ma1×logn+(m-1)a2×logn+…=(ma1+(m-1)a2+…)×logn 因而有O(log(p(n)))=O(logn)。 1-4 构建对称方阵 观察图1-5所示的7阶对称方阵： 图1-5 7阶对称方阵 试构造并输出以上n阶对称方阵。 解：这是一道培养与锻炼我们的观察能力与归纳能力的案例，一个一个元素枚举赋值显然行不通，必须全局着眼，分区域归纳其构造特点，分区域枚举赋值。 （1） 设计要点 设方阵中元素的行号为i，列号为j。 可知主对角线：i=j；次对角线：i+j=n+1。两对角线赋值“0”。 按两条对角线把方阵分成上部、左部、右部与下部4个区,如图1-6所示。 图1-6 对角线分成的4个区 上部按行号i赋值；下部按行号函数n+1-i赋值。 左部按列号j赋值；右部按列号函数n+1-j赋值。 （2） 程序实现 #include {int i,j,n,a[30][30]; printf(\请确定方阵阶数n: \ scanf(\ for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) {if(i==j || i+j==n+1) a[i][j]=0; // 方阵对角线元素赋值 if(i+j a[i][j]=i; // 方阵上部元素赋值 if(i+j a[i][j]=j; // 方阵左部元素赋值 if(i+j>n+1 && i>j) a[i][j]=n+1-i; // 方阵下部元素赋值 if(i+j>n+1 && i a[i][j]=n+1-j; // 方阵右部元素赋值 } printf(\阶对称方阵为:\\n\ for(i=1;i<=n;i++) { for(j=1;j<=n;j++) // 输出对称方阵 printf(\ printf(\ } } 1-5 据例1-2的算法，写出求解n个“1”组成的整数能被2011整除的程序。 修改程序，求出 n至少为多大时，n个“1”组成的整数能被2013整除？ 解：程序为 #include c=1111;n=4; // 变量c与n赋初值 while(c!=0) // 循环模拟整数竖式除法 { a=c*10+1; c=a%p; n=n+1; // 每试商一位n增1 } printf(\由 %d 个1组成的整数能被 %d 整除。\\n\} 习题2 2-1 解不等式 设n为正整数，解不等式 2010?1?111?????2011 1?1/21?1/2?1/31?1/2???1/n解：上下限一般为键盘输入的a,b。 // 解不等式: a<1+1/(1+1/2)+...+1/(1+1/2+...+1/n) #include { long a,b,c,d,i; double ts,s; printf(\请输入a,b: \ scanf(\ i=0;ts=0;s=0; while(s ts=ts+(double)1/i; s=s+1/ts; } c=i; while(s ts=ts+(double)1/i; s=s+1/ts; } d=i-1; printf(\满足不等式的正整数n为: %ld≤n≤%ld \\n\} 2-2 韩信点兵 韩信在点兵的时候，为了知道有多少个兵，同时又能保住军事机密，便让士兵排队报数。 按从1至5报数,记下最末一个士兵报的数为1； 再按从1至6报数,记下最末一个士兵报的数为5； 再按1至7报数,记下最末一个报的数为4； 最后按1至11报数,最末一个士兵报的数为10。