A级 基础达标演练 (时间：40分钟 满分：60分)
一、选择题(每小题5分，共25分) 1．函数f(x)＝2sin xcos x是( )． A．最小正周期为2 π的奇函数 B．最小正周期为2 π的偶函数 C．最小正周期为π的奇函数 D．最小正周期为π的偶函数
解析 f(x)＝2sin xcos x＝sin 2x.∴f(x)是最小正周期为π的奇函数． 答案 C
π??
2．函数y＝sin?2x＋3?图象的对称轴方程可能是( )．
??
ππππ
A．x＝－6 B．x＝－12 C．x＝6 D．x＝12
kππππ
解析 令2x＋3＝kπ＋2(k∈Z)，得x＝2＋12(k∈Z)，令k＝0得该函数的一条对π
称轴为x＝12.本题也可用代入验证法来解． 答案 D
3．(2012·南昌质检)函数f(x)＝(1＋3tan x)cos x的最小正周期为( )． 3ππA．2π B.2 C．π D.2
?π?解析 依题意，得f(x)＝cos x＋3sin x＝2sin?x＋6?.故最小正周期为2π.
??答案 A
?ππ?4．(★)下列函数中，周期为π，且在?4，2?上为减函数的是( )．
??π??
A．y＝sin?2x＋2?
???π?
C．y＝sin?x＋2?
??
π??
B．y＝cos?2x＋2?
???π?
D．y＝cos?x＋2?
??
?ππ?解析 (筛选法)∵函数的周期为π.∴排除C、D，∵函数在?4，2?上是减函数，∴
??
排除B. 答案 A
【点评】 本题采用了筛选法，体现了筛选法的方便、快捷、准确性，在解选择题时应注意应用.
?π?5．已知函数f(x)＝sin?x－2?(x∈R)，下面结论错误的是( )．
??A．函数f(x)的最小正周期为2π π??
B．函数f(x)在区间?0，2?上是增函数
??C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称 D．函数f(x)是奇函数
π??π??
解析 ∵y＝sin?x－2?＝－cos x，∴T＝2π，在?0，2?上是增函数，图象关于y轴
????对称，为偶函数． 答案 D
二、填空题(每小题4分，共12分)
?π?
6．若函数f(x)＝cos ωxcos?2－ωx?(ω＞0)的最小正周期为π，则ω的值为________．
???π?
解析 f(x)＝cos ωxcos?2－ωx?
??1
＝cos ωxsin ωx＝2sin 2ωx， 2π
∴T＝2ω＝π.∴ω＝1. 答案 1
??ππ??
7．(★)(2011·开封质检)已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋3cos(x＋θ)?θ∈?－2，2??是偶
????函数，则θ的值为________．
π??
解析 (回顾检验法)据已知可得f(x)＝2sin?x＋θ＋3?，若函数为偶函数，则必有θ
??πππππ?ππ?
＋3＝kπ＋2(k∈Z)，又由于θ∈?－2，2?，故有θ＋3＝2，解得θ＝6，经代入检??验符合题意． π
答案 6
【点评】 本题根据条件直接求出θ的值，应将θ再代入已知函数式检验一下. ?π?2sin?x＋4?＋2x2＋x
??
8．(★)函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝
2x2＋cos x________.
解析 (构造法)根据分子和分母同次的特点，把分子展开，得到部分分式，f(x)＝1＋
x＋sin x
，f(x)－1为奇函数，则m－1＝－(M－1)，所以M＋m＝2.
2x2＋cos x
答案 2
【点评】 整体思考，联想奇函数，利用其对称性简化求解，这是整体观念与构造思维的一种应用.注意到分式类函数的结构特征，借助分式类函数最值的处理方法，部分分式法，变形发现辅助函数为奇函数，整体处理最大值和最小值的问题以使问题简单化，这种构造特殊函数模型的方法来源于对函数性质应用的深刻理解.
三、解答题(共23分) 9．(11分)设f(x)＝1－2sin x. (1)求f(x)的定义域；
(2)求f(x)的值域及取最大值时x的值．
解 (1)由1－2sin x≥0，根据正弦函数图象知： 513π
定义域为{x|2kπ＋6π≤x≤2kπ＋6，k∈Z}．
(2)∵－1≤sin x≤1，∴－1≤1－2sin x≤3，∵1－2sin x≥0，
3π
∴0≤1－2sin x≤3，∴f(x)的值域为[0，3]，当x＝2kπ＋2，k∈Z时，f(x)取得最大值．
?π?
10．(12分)(2011·中山模拟)已知f(x)＝sin x＋sin?2－x?.
??1
(1)若α∈[0，π]，且sin 2α＝3，求f(α)的值； (2)若x∈[0，π]，求f(x)的单调递增区间． 解 (1)由题设知，f(α)＝sin α＋cos α. 1
∵sin 2α＝3＝2sin α·cos α＞0，α∈[0，π]，
π??
∴α∈?0，2?，sin α＋cos α＞0.
??4由(sin α＋cos α)2＝1＋2sin α·cos α＝3， 22得sin α＋cos α＝33，∴f(α)＝33. ?π?(2)f(x)＝2sin?x＋4?，又0≤x≤π，
??π??
∴f(x)的单调递增区间为?0，4?.
??
B级 综合创新备选 (时间：30分钟 满分：40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．(★)函数y＝sin2x＋sin x－1的值域为( )． A．[－1,1] ?5?
C.?－4，1? ??
?5?
B.?－4，－1? ??5??－1，D.? 4???
解析 (数形结合法)y＝sin2x＋sin x－1，令sin x＝t，则有y＝t2＋t－1，t∈[－1,1]，1
画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t＝－2及t＝1时，函数取最值，?5?
代入y＝t＋t－1可得y∈?－4，1?.
??
2
答案 C
【点评】 本题采用换元法转化为关于新元的二次函数问题，再用数形结合来解决，但换元后注意新元的范围.
π???ππ?
0，??2．(2011·山东)若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间在区间?3，2?3?上单调递增，???上单调递减，则ω＝( )．
23
A.3 B.2 C．2 D．3
π
解析 由题意知f(x)的一条对称轴为x＝3，和它相邻的一个对称中心为原点，则4π3
f(x)的周期T＝3，从而ω＝2. 答案 B
二、填空题(每小题4分，共8分)
π??2x＋?3．(2011·绍兴模拟)关于函数f(x)＝4sin(x∈R)，有下列命题： 3???①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2必是π的整数倍； π??
②y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos?2x－6?；
???π?
③y＝f(x)的图象关于点?－6，0?对称；
??π
④y＝f(x)的图象关于直线x＝－6对称．
其中正确命题的序号是________(把你认为正确的命题序号都填上)．
π??2x＋解析 函数f(x)＝4sin?的最小正周期T＝π，由相邻两个零点的横坐标间的3???Tπ
距离是2＝2知①错．
π???π?
2x＋3??＝ 利用诱导公式得f(x)＝4cos?2－?????π??π??
4cos?6－2x?＝4cos?2x－6?，知②正确．
????
π
由于曲线f(x)与x轴的每个交点都是它的对称中心，将x＝－6代入得f(x)＝??π?π?－?＋?4sin?2×?
?6?3?＝4sin 0＝0， ?
?π?
因此点?－6，0?是f(x)图象的一个对称中心，故命题③正确．曲线f(x)的对称轴必
??π?π?经过图象的最高点或最低点，且与y轴平行，而x＝－6时y＝0，点?－6，0?不
??π
是最高点也不是最低点，故直线x＝－6不是图象的对称轴，因此命题④不正确． 答案 ②③
π??4．函数f(x)＝2sin ωx(ω＞0)在?0，4?上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，
??