数学建模作业题
注意事项：
作业共十题，每题十分，全部是比较简单的建模计算题，题目既是课本上的习题，在课本304~315有参考解答，又是在线题库的题目，在题库里有更详细的解答。学员应该先自己动脑筋解决，然后才参考一下课本及题库的解答。
评分高低主要是看完成作业的态度、独立程度和表达清晰程度。
上传的作业必须是包括全部作业的单独一份word文档，必须自己录入，不允许扫描，不允许直接插入题库答案中的图片。严重违反者，不及格。
请于有效期结束前两周提交上传作业，教师尽快批改，请学员有效期结束前一周查看成绩，不及格的学员可以在课程答疑栏目提出或者课程论坛提出重交申请，教师删除原作业后，这些学员可以在有效期结束前之前重交作业。每人只有一次重交机会。
作业题与考试相关（当然不会一模一样），认真完成作业的学员，必将在考试取得好成绩。
一、教材76页第1章习题1第7题（来自高中数学课本的数学探究问题，满分10分） 表1.17是某地一年中10天的白昼时间（单位：小时），请选择合适的函数模型，并进行数据拟合.
日期 白昼时间 日期 白昼时间 1月1日 5.59 6月21日 19.40 表1.17 某地一年中10天的白昼时间 2月28日 3月21日 10.23 8月14日 16.34 12.38 9月23日 12.01 4月27日 16.39 10月25日 8.48 5月6日 17.26 11月21日 6.13 解：根据地理常识，某地的白昼时间是以一年为周期而变化的，以日期在一年中序号为自变量x，以白昼时间为因变量y，则根据表1.17的数据可知在一年（一个周期）内，随着x的增加，y大约在6月21日（夏至）达到最大值，在12月21日（冬至）达到最小值，在3月21日（春分）或9月21日（秋分）达到中间值。选择函数y=(Asin(2?x??)?b)作为函数值。根据表1.17的数据，推测A，b和?的值，作非线性拟合得3652?xy?6.9022sin(?1.3712?12.385，预测该地12月21日的白昼时间为5.49小时。
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二、教材100页第2章习题2第1题（满分10分）
继续考虑第2.2节“汽车刹车距离”案例，请问“两秒准则”和“一车长度准则”一样吗？“两秒准则”是否足够安全？对于安全车距，你有没有更好的建议？ 解：“两秒准则”表明前后车距D与车速v成正比例关系D?K2v，其中K2?2s，对于小型汽车，“一车长度准则”与“两秒准则”不一致。由d?D?v[K2v?(K2?K1)]可以计算得到当
v?K2?K1?54.428km/h时有d?D，“两秒准则”足够安全，或者把刹车距离实测数据和“两秒准则”K2都画在同一幅图中，根据图形指出“两秒准则”足够安全的车速范围。用最大刹车距离除以车速，得到最大刹车距离所需的尾随时间，并以尾随时间为依据，提出更安全的准则，如“3秒准则”、“4秒准则”或“1秒准则”等。
1秒准则，刹车距离的模型和数据
三、教材100页第2章习题2第3题（满分10分）
继续考虑第2.3节“生猪出售时机”案例，做灵敏度分析，分别考虑农场每天投入的资金对最佳出售时机和多赚的纯利润的影响.
?c?t?c，则生猪饲养的天数t发生的相对变化是的多少倍，ctc?t/t即定义t对c的灵敏度为S(t,c)? 因为?c?0，所以重新定义t对c的灵敏度为
?c/c?t/tdtcS(t,c)??? ①
?c/cdctrp(0)?g?(0)?c由课本上可知t? ②
2grrp(0)?g?(0)c?所以t?，所以t是c的减函数
2gr2gr为了使t>0，c应满足rp(0)?g?(0)?c?0
解：（1）考虑每天投入的资金c发生的相对为结合①② 可得S(t,c)??c3.2????2
rp(0)?g?(0)?c12?0.08?90?3.2这个结果表示的意思是如果农场每天投入的资金c增加1%，出售时间就应该提前2%。
（2）同理（1）总收益Q对每天投入资金c的灵敏度为 S?Q,c??dQc? ③ dcQ[rp?0??g??0??c]2 Qmax? ④
4gr 结合③④得
Qmax??2c2?3.2????4
rp?0??g??0??c12?0.08?90?3.2 这结果表示的意思是如果每天投入的资金c增加1%，那么最大利润就会减少4%。
四、教材143页第3章习题3第2题（满分10分）
某种山猫在较好、中等及较差的自然环境下，年平均增长率分别为1.68%、0.55%和-4.5%. 假设开始时有100只山猫，按以下情况分别讨论山猫数量逐年变化的过程及趋势：
(1) 三种自然环境下25年的变化过程，结果要列表并图示；
(2) 如果每年捕获3只，山猫数量将如何变化？会灭绝吗？如果每年只捕获1只呢？
(3) 在较差的自然环境下，如果要使山猫数量稳定在60只左右，每年要人工繁殖多少只？
解：①解记第k年山猫xk，设自然环境下的年平均增长率为r，则列式得 xk?1??1?r?xk，k=0，1，2… 其解为等比数列
xk?x0?1?r?，k=0，1，2…
k 当分别取r=0.0168，0.0055和-0.0450时，山猫的数量在25年内不同的环境下的数量演变为
年
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 较好 中等 较差
100 100 100 102 101 96 103 101 91 105 102 87 107 102 83 109 103 79 111 103 76 112 104 72 114 104 69 116 105 66 118 106 63 120 106 60 122 107 58 124 107 55 126 108 52 128 109 50 131 109 48 133 110 46 135 110 44 137 111 42 140 112 40 142 112 38 144 113 36 147 113 35 149 114 33 152 115 32