下证 CE?(CE)0
设P?CE，则P?E，由E的本质特征，存在P的某邻域U(P)，使U(P)中不含E中的点，?P?(CE)0，这样CE?(CE)0.
又设P?(CE)0，则存在P的某邻域U(P)，使U(P)中不含E中的点，所以P?E，
P?CE，这样，(CE)?CE，所以CE?(CE).
00定理2 设A?B，则A??B?，A0?B0，A?B.
证明 设P?A?，则点P的任何邻域U(P)中都有无穷多个点属于A，而A?B，因而点P的任何邻域U(P)中都有无穷多个点属于B，所以P?B?，因此A??B?；
设P?A0，则存在点P的某邻域U(P)，使U(P)?A，而A?B，则U(P)?B，所以P?B0，因此A0?B0；
因为A?B，A??B?，所以A?A??B?B?，因此A?B. 定理3 (A?B)??A??B?.
证明 一方面，因为A?A?B，B?A?B，由定理2.2.3，A??(A?B)?，
B??(A?B)?，所以A??B??(A?B)?.
另一方面，设P?(A?B)?，往证P?A??B?. 若不然，P?A?且P?B?，则有P的某邻域U1(P)除P外不含A的任何点，也有P的某邻域U2(P)除P外不含B的任何点，作P的邻域U3(P)，使U3(P)?U1(P)?U2(P)，那么在U3(P)中除P点外不含A?B的任何点，??这与P?(A?B)?矛盾. 从而P?A(A?B)??A??B?.
?，因此，(A?B)??A??B?. 综上，B例1 设A?R为非空集，求证：
（1）若A是孤立点集（A中的每个点都是孤立点），则A?a； （2）A?A??a；
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（3）若A??a，则A?a.
证明 （1）设A是孤立点集，则对任意的x?A，存在?x?0，使得
(x??x,x??x?)A?x{，对任意的}x,y?A，当x?y时，把满足上面的?x，?y再要求
?x?|x?y|，?y?|x?y|，这样，就有
?x2??y2?|x?y|. 于是
?y?y??x?x???x?,x??y?,y????. ???22??22??取有理数rx??x????x2,x??x??，让x与rx对应，则A与有理数集Q的一个子集对等，因2?此A?a.
（2）A?A?若非空，则必为孤立点集，由（1）A?A??a. （3）显然A?(A?A?)?A?.
由题设，A??a，而(A?A?)?a，所以(A?A?)?A??a，因此，A?a.
定理4（Bolzano-Weierstrass，1815-1897，德国数学家） 若E是Rn中一有界的无穷集合，则E至少有一个聚点P（P可以不属于E），即E???.
该定理的证明方法与数学分析课程中在R和R2情形的证明相同，也可见参考书目[3].
n定理5 设E??,E?R, 则E至少有一界点(即?E??).
证明留作练习.
§3 开集,闭集,完备集
教学目的：介绍开集, 闭集和完备集的概念及性质.
本节重点: 开集,闭集的概念及性质,开集和闭集的对偶关系. 本节难点: 任何集合的导集是闭集,开核是开集.
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我们把(a,b)称作开区间，而把[a,b]称作闭区间，(a,b)与[a,b]的区别在于(a,b)中的点都是内点，而[a,b]则不同，点a和点b是[a,b]的边界点（也是聚点）. 对于一般的集合，我们有
定义1 设E?Rn，若E中的每一个点都是E的内点，则称E为开集.
例如，全空间Rn及?都是开集；R中的开区间(a,b)是R中的开集；单位开圆盘
2{(x,y):x?y?1}是R中的开集；直线上的有理数集、无理数集都不是R中的开集.
22定义2 设E?Rn，如果E的每一个聚点都属于E，则称E为闭集. 例如，全空间Rn及?都是闭集；闭区间[a,b]是R中的闭集；
单位闭圆盘{(x,y):x2?y2?1}及{(x,0):a?x?b}都是R2中的闭集；直线上的有理数集、无理数集都不是R中的闭集.
因为显然有E0?E，?E中的点或者是E的聚点或者是E的孤立点，所以，E为开集的充要条件是E?E0，E为闭集的充要条件是?E?E.
定理1 对任何点集E?Rn，E0是开集，E?和E都是闭集. 证明 若E??，则E0是开集.
若E??，任取P?E0，由E0的定义，P是E的内点，存在P的某邻域U(P)?E，对任意的q?U(P)，存在q的某邻域U(q)，使U(q)?U(P)?E，所以，q是E的内点，因此，U(P)?E，由此，P是E0的内点，即P?(E)，亦即E?(E)，于是E0是开集.
下证E?是闭集. 若E?没有聚点，即(E?)???，这时(E?)??E?，E?是闭集.
若E?有聚点，任取P?(E?)?，往证P?E?. 由P?(E?)?，在P的任意邻域U(P)内，有
)?U(P)，并且一个属于E?而异于P的点P1，因为P1?U(P)，则有P1的邻域U(P1P?U(P1)，（设U(P)的半径为?，取U(P1)的半径?1?min{1200000000?(P1,P),12(???(P1,P))}），
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由P1?E?，在U(P1)内有一个属于E而异于P1的点P2，从而在U(P)中有一个属于E而异于
P的点P2(P?U(P1),P2?U(P1))，因此P?E?，这样(E?)??E?，于是E?是闭集.
再证E是闭集.
因为(E)??(E?E?)??E??(E?)??E??E??E??E，所以E是闭集. 定理2（开集与闭集的对偶性） （1）若G是开集，则CG是闭集； （2）若F是闭集，则CF是开集.
证明 （1）设G是开集，若(CG)???，则(CG)??CG，CG是闭集. 若(CG)???，取P0?(CG)?，则P0的任何邻域U(P0)都有CG中异于P0的点，亦即P0的任何邻域U(P0)都有不属于G的点，所以，P0?G0?G，因而，P0?CG，这样(CG)??CG，于是CG是闭集.
（2）设F是闭集，往证CF是开集，即要证(CF)?(CF)0. 若CF??，则
(CF)?(CF)，CF是开集. 若CF??，任取P0?CF，则P0?F，则存在P0的某邻域U(P0)，使U(P0)?CF，因若不然，对P0的任何邻域U(P0)都有一个F中的点，这个点又
0异于P0（因P0?F），这样P0?F?，由F是闭集，就有P0?F，与P0?F矛盾. 从而
0U(P0)?CF. 因此P0是CF的内点，所以CF?(CF)，于是，CF是开集.
定理也可以这样证明：
设G是开集，由CG?CG?CG，因此CG是闭集. 设F是闭集，由(CF)?CF?CF，因此CF是开集.
定理3 （1）任意多个开集的并集是开集；（2）有限多个开集的交集是开集.
证明 （1）设{G?:??I}是由任意多个开集组成的一个开集族，其中I为指标集. 往证
G?00?G???I是开集.
不妨设G??，任取P?G，则存在某一?0?I，使P?G?. 因为G?是开集，所以有
00P的某邻域U(P)，使U(P)?G?0?G，这样P是G的内点，因此G?G，于是G是开
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集.
n（2）设G1,G2,?,Gn是有限个开集，往证G??Gi?1i是开集.
不妨设G??，任取P?G，则对每个i(1?i?n)，有P?Gi，而每个Gi是开集，所以
n存在?i，使U(P,)?i?(G2,1i,?)i则UP?n. 令??min{?1,?2,?,?n}，(,)???Gi?1G?i.
这样P是G的内点，因此G?G0，于是G是开集.
需要注意的是，任意多个开集的交不一定是开集. 例如，设Gn?(???11,)(n?1,2,?)，nn则每个Gn是开集，然而?Gn?n?1?n?1(?11,)?{0}是闭集. nn定理4 （1）任意多个闭集的交集是闭集；（2）有限多个闭集的并集是闭集. 证明 该定理的证明可以运用集合运算的De Morgan公式和定理2.3.3直接给出. 设F?（??I,I是指标集）是闭集. 因为?F??C?C(?F?)??C??CF??，而由于
??I?????????I???IF?是闭集，所以由定理2.3.2知CF?是开集(??I).
???由定理2.3.3，知?CF?是开集，再由定理2.3.2，知?F??C??CF??是闭集.
??I??I???In同理可证?Fi是闭集，其中Fi(i?1,2,?,n)是闭集.
i?1也需要注意的是，任意多个闭集的并也不一定是闭集. 例如，设Fn?[?1???1n,1?1n]
(n?1,2,?)，则每个Fn是闭集，然而?Fn?n?1?[?1?n?11n,1?1n]?(?1,1)是开集.
尽管任意多个开集的交不一定是开集，任意多个闭集的并也不一定是闭集，但是有两种情形，即可数多个开集的交和可数多个闭集的并是值得重视的，这在以后经常运用到.
在数学分析课程中，已经学习了R2中的Heine-Borel有限覆盖定理：
设D?R2为一有界闭域，{?x}为一开域族，它覆盖了D（即D?U??），则在{??}中
?n必存在有限个开域?1,?2,?,?n，它们同样覆盖了D（即D???i?1i）. （见参考书目[10]）
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