在这里，把有限覆盖定理推广成更一般的情形，这种更一般的情形在参考书目[10]中也提到了，但没有给出证明.
定理5（Heine-Borel有限覆盖定理，Heine，1821-1881，德国数学家；Borel，1871-1956，法国数学家） 设F是一个有界闭集，?是一族开集，??{U?:U?是开集，???}，它覆盖了F（即F?，?是指标集，则在?中一定存在有限多个开集U?U?）
???m1,U2,?,Um，它
们也覆盖了F（即F??Ui?1i）.
证明 因为F是有界闭集，所以有闭区间I?Rn，使F?I. 设D???{CF}，则D也是一个开集族，且Rn?D，因此I?D.
对于I中任一点P，存在开集UP?D，使P?UP，UP是开集，所以有开区间IP?UP，且P?IP，这样开区间族{IP:P?I}覆盖了I. 由数学分析中的有限覆盖定理（区间是域），存在{IP:P?I}中的有限个开区间IP,IP,?,IP，它们仍然覆盖I. 由F?I及
12mmIPi?UPi(i?1,2,?,m)，知F??Ui?1Pi，如果D中的开集CF不在这m个开集中，则?中
的有限个开集UP,UP,?,UP覆盖了F，定理得证；如果D中的开集CF在上述的m个开集
12m中，则从这m个开集中去掉CF，由CF?F??，知剩下的m?1个开集也覆盖了F. 定理得证.
以上我们讨论了Rn中的开集和闭集，并得到了一些很有用的结果. 下面定义的两种集也是很重要的，其概念在后面经常出现.
定义4 设D?Rn，若E?E?，则称E是自密集.
由定义知，E为自密集即E的每一点都是它的聚点. 自密集是不含任何孤立点的. 例如，开区间I?(a,b)是R中的自密集，因为I?I??[a,b]. 全体有理数集Q及全体无理数集都是R中的自密集.
定义5 设E?Rn，若E?E?，则称E是完备集（或完全集）. 由定义知，完备集是自密的闭集，或者说是不含孤立点的闭集.
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例如，闭区间[a,b]，集E?[0,1]?[2,3]都是直线上的完备集. 全空间Rn及?也都是完备集.
§4 直线上开集、闭集及完备集的构造
教学目的：让学生理解直线上开集虽然不一定是开区间，但无非是至多可数个开区间的
并集而已，理解几个常见的开集、闭集和完备集，熟悉其构造方法及性质。 本节重点：直线上开集和闭集的构造。 本节难点： Cantor集的构造及性质。
我们知道，在直线上，开区间是开集，它比较简单，直线上的开集虽然不一定是一个开区间，但是它却与开区间有着必然的联系，本节的讨论就在于揭示这种联系，从而得到直线上开集的构造.
1．直线上开集和闭集的构造
定义1 设G是直线上的开集. 如果开区间(?,?)?G，而且端点?,?不属于G，那么称(?,?)为G的一个构成区间.
例如开集(0,1)?(2,3)的构成区间是(0,1)及(2,3).
定理1（开集的构造定理） 直线上任意一个非空开集可以表示成有限个或可列个互不相交的构成区间的并集. 又当非空开集表示成互不相交的开区间的并集时，这些开区间必是构成区间.
证明 设G?R是开集.
（1）G的任何两个不同的构成区间必不相交，并且G的构成区间全体是至多可数集. 若不然，设(?1,?1)和(?2,?2)是G的两个构成区间，但相交，则必有一开区间的一个端点落在另一个开区间内. 不妨设?1?(?2,?2). 由(?2,?2)?G，有?1?G，这与(?1,?1)是G的构成区间矛盾.
我们在G的每一个构成区间中取一有理数与这个构成区间对应，设这些有理数全体为
Q1，由于G的构成区间互不相交，则G的构成区间全体与有理数集Q的一个子集Q1对等，
因而G的构成区间全体是至多可数集.
（2）开集G中的任何一点必含在一个构成区间中，任取x0?G，设
Ax0?{(?,?)x:??(?,?)G，因}为G是开集，所以Ax0非空. 记?0?0(?,?)?Axinf?，
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?0?sup(?,?)?Ax0（?0可能是??，?0可能是??）.
). 下面证明(?0,?0)是G的构成区间. 先证(?0,?0)?G，设
inf显然x0?(?0,?0x??(?0,?0)，若x??x0，则由?0?(?,?)?Ax?，对于x???0?(x???0)，必有(?,?)?Ax，
00使?0???x??x0（下确界定义），这样，x??(?,x0]?(?,?)?G.
若x??x0，则由?0?sup(?,?)?Ax0?，对x???0?(?0?x?)，必有(?1,?1)?Ax，使
0（上确界定义），这样，x??(x0,?1)?(?1,?1)?G. x0?x???1??0因此(?0,?0)?G，并且由于x0?(?0,?0)，有(?0,?0)?Ax.
0再证?0?G，若不然，?0?G，则因为G是开集，必有开区间(??,??)，使?0?(??,??)?G(??,??)0，这样由???0?x?0??，有
x0?(??,?0)，而
??(???,0)??G，因此(?,(??,?0))?Ax0，而????0，这与?0是Ax0中的区0间左端点全体的下确界矛盾. 所以?0?G. 同理可证?0?G，所以(?0,?0)是G的构成区间.
（3）作G的所有构成区间的并集?(?n,?n). 由（2）G?n?(?kk,?k)，由构成区间的
定义，?(?n,?n)?G，所以，G?n??(?nmn,?n)，由于G是至多可数个互不相交的构成间的
并集，因此G??(?k?1k,?k)或者G??(?k?1k,?k).
这样定理的第一部分得证. （4）设G???(??,?)kkk?,?k?)是G的是一组互不相交的开区间的并集，我们证明每个(?k?,?k?)?G，若?k??G，则必有L?k使?k??(?L?,?L?)，这与(?k?,?k?)和构成区间. 显然(?k?,?L?)不相交矛盾，因此?k??G. 同理可证?k??G，所以(?k?,?k?)是构成区间. 至此，定(?L理得证.
2．闭集和完备集的构造
定义2 设A是直线上的闭集，称A的余集CA的构成区间为A的余区间.
这样我们得到直线上闭集的构造如下：
定理2 直线上的闭集F或是全直线，或是从直线上挖掉有限个或可数多个互不相交的开区间（即F的余区间）所得到的集.
由孤立点的定义很容易知道，直线上点集A的孤立点必是包含在A的余集中的某两个开
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区间的公共端点. 因此，闭集的孤立点一定是它的两个余区间的公共端点. 完备集是没有孤立点的闭集.
所以，完备集就是没有相邻接的余区间的闭集. 这也就是完备集的构造.
3．康托集（Cantor set）
（i）康托集的构造 从[0,1]挖掉??12,33?127812?，再从剩下的和中挖掉和第n次[0,][,1](,)(,). 一般地，?999933?挖掉2n?1个开区间，剩下2n个长度是3?n的互相隔离的闭区间，如此继续下去，就从[0,1]中挖掉了可数多个互不相交而且没有公共端点的开区间. 设挖掉的这些开区间的并集为G，则
G为开集.
称P?[0,1]?G为康托集. 也称G为康托开集. 因为P?[0,1]?G?[0,1]?CG，因此P是闭集.
（ii）P是完备集
因为P的任何两个余区间没有公共端点（不相邻接），因此P是完备集. （iii）P没有内点
任取x?P，往证x不是P的内点，即要证对任何??0，在U(x,?)内总含有不属于P的点. 事实上，对任何??0，取n?N?，使余下的2n个长度为
13n13n??，则在进行第n次挖除过程后，x必在
的互相隔离的区间中的某一个里，不妨记为?，x??. 显然
?n??U(x,?)（因为对任意的y??，?(x,y)?3??）. 因为接下去还要对?进行三等分
并挖去中间的开区间，因此在?中含有不属于P的点，这样在U(x,?)中含有不属于P的点，因此x?P，于是p没有内点.
（iv）p是疏朗集
定义 如果一个点集E具有性质：空间任一邻域内至少包含某点的一个邻域，使其中不含E的点，则称E是疏朗集.
下面证明P是疏朗集.
CP因为P是没有内点的集，所以P的任一邻域内至少有一点x不属于P，所以x?CP，
0是开集，所以有x的某邻域U(x)?CP，因此U(x)不含P中点，于是P是疏朗集.
（v）P?c
证明 将(0,1)中的实数表示成正规三进位无限小数，令A是这些三进位无限小数中不出现数字1的全体. 即
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A?{x?0.a1a2?ak?:ak是0或2，k?1,2,?}，
则A?(0,1)?[0,1]，由A?G??（G是康托开集），这样A?[0,1]?G?P.
显然A与二进位正规表示的无限小数全体(0,1)可建立一一对应，这只须令
x?0.a1a2a3?ak??y?0.a1a222?ak2?即可.
这里x是三进位小数中不出现数字1的，y是二进位小数. 于是A?c，由A?P?[0,1]，而[0,1]?c，于是P?c.
在本节中，我们讨论了直线上的开集、闭集和完备集的构造，也较全面深入地讨论了康托集.
顺便说明的是，当n?1时，Rn中的开集一般不能表示成至多可数个互不相交的n维开区间的并，但总可以表示成可数个互不相交的半开半闭区间的并，不过这种表示法没有唯一性. 这个结果将在第三章给出证明.
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