第一章 质点运动学
1–1 描写质点运动状态的物理量是 。
解：加速度是描写质点状态变化的物理量，速度是描写质点运动状态的物理量，故填“速度”。
1–2 任意时刻at=0的运动是 运动；任意时刻an=0的运动是 运动；任意时刻a=0的运动是 运动；任意时刻at=0，an=常量的运动是 运动。
解：匀速率；直线；匀速直线；匀速圆周。
1–3 一人骑摩托车跳越一条大沟，他能以与水平成30°角，其值为30m/s的初速从一边起跳，刚好到达另一边，则可知此沟的宽度为 （g?10m/s2)。
解：此沟的宽度为
2v0sin2?302?sin60?R??m?453m
g10
1–4 一质点在xoy平面内运动，运动方程为x?2t，y?9?2t2，位移的单位为m，试写出t?1s时质点的位置矢量__________；t?2s时该质点的瞬时速度为__________，此时的瞬时加速度为__________。
解：将t?1s代入x?2t，y?9?2t2得
x?2m，y?7m
t?1s故时质点的位置矢量为
r?2i?7j（m）
由质点的运动方程为x?2t，y?9?2t2得质点在任意时刻的速度为
vx?dxdx?2m/s，vy???4tm/s dtdtt?2s时该质点的瞬时速度为
v?2i?8j（m/s）
质点在任意时刻的加速度为
dvydvxa???4m/s2 ax??0，ydtdtt?2s时该质点的瞬时加速度为?4jm/s。
2
1
1–5 一质点沿x轴正向运动，其加速度与位置的关系为a?3?2x，若在x=0处，其速度v0?5m/s，则质点运动到x=3m处时所具有的速度为__________。
解：由a?3?2x得
dvdvdxdv??v?3?2x dtdxdtdx故
vdv?(3?2x)dx
积分得
?5vvdv??0(3?2x)dx
3则质点运动到x=3m处时所具有的速度大小为
v?61m/s=7.81m/s；
1–6 一质点作半径R=1.0m的圆周运动，其运动方程为??2t3?3t，θ以rad计，t以s计。则当t=2s时，质点的角位置为________；角速度为_________；角加速度为_________；切向加速度为__________；法向加速度为__________。
解： t=2s时，质点的角位置为
??2?23?3?2?22rad
由??2t3?3t得任意时刻的角速度大小为
??t=2s时角速度为
d??6t2?3 dt??6?22?3?27rad/s
任意时刻的角速度大小为
??t=2s时角加速度为
d??12t dt??12?2=24rad/s2
t=2s时切向加速度为
at?R??1.0?12?2?24m/s
2
t=2s时法向加速度为
an?R?2?1.0?272?729m/s；
2
1–7 下列各种情况中，说法错误的是[ ]。 A．一物体具有恒定的速率，但仍有变化的速度 B．一物体具有恒定的速度，但仍有变化的速率 C．一物体具有加速度，而其速度可以为零 D．一物体速率减小，但其加速度可以增大
解：一质点有恒定的速率，但速度的方向可以发生变化，故速度可以变化；一质点具有加速度，说明其速度的变化不为零，但此时的速度可以为零；当加速度的值为负时，质点的
2
速率减小，加速度的值可以增大，所以（A）、（C）和（D）都是正确的，只有（B）是错误的，故选（B）。
1–8 一个质点作圆周运动时，下列说法中正确的是[ ]。 A．切向加速度一定改变，法向加速度也改变 B．切向加速度可能不变，法向加速度一定改变 C．切向加速度可能不变，法向加速度不变 D．切向加速度一定改变，法向加速度不变
解：无论质点是作匀速圆周运动或是作变速圆周运动，法向加速度an都是变化的，因此至少其方向在不断变化。而切向加速度at是否变化，要视具体情况而定。质点作匀速圆周运动时，其切向加速度为零，保持不变；当质点作匀变速圆周运动时，at值为不为零的恒量，但方向变化；当质点作一般的变速圆周运动时，at值为不为零变量，方向同样发生变化。由此可见，应选（B）。
1–9 一运动质点某瞬时位于位置矢量r(x,y)的端点处，对其速度大小有四种意见：
drdrds?dx??dy?（1） （2） （3） （4）?????
dtdtdt?dt??dt?下述判断正确的是[ ]。
A．只有（1），（2）正确 B．只有（2），（3）正确 C．只有（3），（4）正确 D．只有（1），（3）正确 解：22dr表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率，在极坐标系中为质点的径向速度，dt是速度矢量沿径向的分量；
22drds表示速度矢量；是在自然坐标系中计算速度大小的公式；dtdt?dx??dy?。 ?????是在真角坐标系中计算速度大小的公式。故应选（C）
dtdt????
1–10 一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为r?at2i?bt2j（其中a、b为常量），则该质点作[ ]。
A．匀速直线运动 B．变速直线运动 C．抛物线运动 D．一般曲线运动 解：由r?at2i?bt2j可计算出质点的速度为v?2ati?2btj，加速度为a?2ai?2bj。因质点的速度变化，加速度的大小和方向都不变，故质点应作变速直线运动。故选（B）。
1–11 一小球沿斜面向上运动，其运动方程为S＝5＋4t–t（SI），则小球运动到最高点的时刻是[ ]。
A．t＝4s B．t＝2s C．t＝8s D．t＝5s 解：小球到最高点时，速度应为零。由其运动方程为S＝5＋4t–t，利用v?时刻的速度为
v?4?2t
3
2
2
ds得任意dt令v?4?2t?0，得
t?2s
故选（B）。
1–12 如图1-1所示，小球位于距墙MO和地面NO等远的一点A，在球的右边，紧靠小球有一点光源S当小球以速度V0水平抛出，恰好落在墙角O处。当小球在空中运动时，在墙上就有球的影子由上向下运动，其影子中心的运动是[ ]。
A．匀速直线运动 B．匀加速直线运动，加速度小于g C．自由落体运动 D．变加速运动
解：设A到墙之间距离为d。小球经t时间自A运动至B。此时影子在竖直方向的位移为S。
x?V0t， y?S
y B
M
x
V0
A S
12gt 2根据三角形相似得y/x?S/d，所以得影子位移为
S?yd/x?gt 2V0g的匀速直线运动。故选2V0N
O
由此可见影子在竖直方向作速度为（A）。
图1-1
1–13 在相对地面静止的坐标系内，A、B二船都以2m/s的速率匀速行驶，A船沿x轴正向，B船沿y轴正向。今在A船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系（x、y方向单位矢量用i、j表示），那么在A船上的坐标系中，B船的速度（以m/s为单位）为[ ]。
A．2i?2j B．?2i?2j C．?2i?2j D．2i?2j
解：选B船为运动物体，则B船相对于地的速度为绝对速度v?2j，A船相对于地的速度为牵连速度v0?2i，则在A船的坐标系中，B船相对于A船的速度为相对速度v?。因v?v0?v?，故v???2i?2j，因此应选（B）
1–14 2004年1月25日，继“勇气”号之后，“机遇”号火星探测器再次成功登陆火星。在人类成功登陆火星之前，人类为了探测距离地球大约3?105km的月球，也发射了一种类似四轮小车的月球探测器。它能够在自动导航系统的控制下行走，且每隔10s向地球发射一次信号。探测器上还装着两个相同的减速器（其中一个是备用的），这种减速器可提供的最大加速度为5m/s。某次探测器的自动导航系统出现故障，从而使探测器只能匀速前进而不再能自动避开障碍物。此时地球上的科学家必须对探测器进行人工遥控操作。下表为控制中心的显示屏的数据：
收到信号时间 与前方障碍物距离（单位：m） 9:10:20 9:10:30 9:10:33
2
52 32 2发射信号时间 给减速器设定的加速度（单位：m/s） 2 4
收到信号时间 与前方障碍物距离（单位：m） 9:10:40 少需要3s。问：
（1）经过数据分析，你认为减速器是否执行了减速命令？
（2）假如你是控制中心的工作人员，应采取怎样的措施？加速度需满足什么条件，才可使探测器不与障碍物相撞？请计算说明。
解：（1）设在地球和月球之间传播电磁波需时为t0，则有
t0?s月地c?1s
12 已知控制中心的信号发射与接收设备工作速度极快。科学家每次分析数据并输入命令最从前两次收到的信号可知：探测器的速度为
v1?52?32?2m/s 10由题意可知，从发射信号到探测器收到信号并执行命令的时刻为9:10:34。控制中心第3次收到的信号是探测器在9:10:39发出的。从后两次收到的信号可知探测器的速度为
v?32?12?2m/s 10可见，探测器速度未变，并未执行命令而减速。减速器出现故障。
（2）应启用另一个备用减速器。再经过3s分析数据和1s接收时间，探测器在9:10:44v2?2m，可得执行命令，此时距前方障碍物距离s=2m。设定减速器加速度为a，则有s?2aa?1m/s，即只要设定加速度a?1m/s，便可使探测器不与障碍物相撞。
2
2
1–15 阿波罗16号是阿波罗计划中的第十次载人航天任务（1972年4月16日），也是人类历史上第五次成功登月的任务。1972年4月27日成功返回。照片图1-2显示阿波罗宇航员在月球上跳跃并向人们致意。视频显示表明，宇航员在月球上空停留的时间是1.45s。已知月球的重力加速度是地球重力加速度的1/6。试计算宇航员在月球上跳起的高度。
解：宇航员在月球上跳起可看成竖直上抛运动，由已知宇航员在空中停留的时间为1.45s，故宇航员从跳起最高处下落到月球表面的时间为t=0.725s，由于月球的重力加速度是地球的重力加速度的1/6，即gM?1g，所以 6h?111gMt2???9.8?0.7252?0.43m 226
图1-2
1–16 气球上吊一重物，以速度v0从地面匀速竖直上升，经过时间t重物落回地面。不计空气对物体的阻力，重物离开气球时离地面的高度为多少。
解：方法一：设重物离开气球时的高度为hx，当重物离开气球后作初速度为v0的竖直上抛运动，选重物离开气球时的位置为坐标原点，则重物落到地面时满足
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