v2dvdv? ?vdRdtds即
dsdv ?Rv对上式积分
sdsv2dv?0R?v?得
v
sv?ln2 Rv1??sv?ln2 Rv1所以
v2?v1e?
1–22 长为l的细棒，在竖直平面内沿墙角下滑，上端A下滑速度为匀速v，如图1-4所示。当下端B离墙角距离为x（x 解：建立如图所示的坐标系。设A端离地高度为y。?AOB为直角三角形，有 x2?y2?l2 方程两边对t求导得 y y A 2x所以B端水平速度为 dxdy?2y?0 dtdtl l2?x2dxydyyv ???v?xdtxdtxB端水平方向加速度为 d2xdt2?xdy/dt?ydx/dtx22v??lv2 x3B x O 图1-4 x 1–23 质点作半径为R?3m的圆周运动，切向加速度为at?3ms?2，在t?0时质点的速度为零。试求：（1）t?1s时的速度与加速度；（2）第2s内质点所通过的路程。 解：（1）按定义at?dv，得 dv?atdt，两端积分，并利用初始条件，可得 dt?0 vdv??0tatdt?at?0dt t9 v?att?3t 当t?1s时，质点的速度为 v?3m/s 方向沿圆周的切线方向。 任意时刻质点的法线加速度的大小为 v29t2an???3t2m/s2 RR任意时刻质点加速度的大小为 2a?at2?an?9?9t4m/s2 任意时刻加速度的方向，可由其与速度方向的夹角θ给出。且有 an3t2tan????t2 at3当t?1s时有 a?9?9?14?32m/s2，tan??1 注意到at?0。所以得 ??45? （2）按定义v?ds，得ds?vdt，两端积分可得 dt?ds??vdt??3tdt 故得经t时间后质点沿圆周走过的路程为 s?32t?C 2其中C为积分常数。则第2s内质点走过的路程为： 33?s?s(2)?s(1)?(?22?C)?(?12?C)?4.5m 22 1–24 一飞机相对于空气以恒定速率v沿正方形轨道飞行，在无风天气其运动周期为T。若有恒定小风沿平行于正方形的一对边吹来，风速为V?kv(k??1)。求飞机仍沿原正方形（对地）轨道飞行时周期要增加多少？ 解：依题意，设飞机沿如图1-5所示的ABCD矩形路径运动，设矩形每边长为l，如无风时，依题意有 D V v v A 图1-5 V v v V B V C T?4l （1） v当有风时，设风的速度如图1-5所示，则飞机沿AB运动时的速度为v?V?v?kv，飞机从A飞到B所花时间为 l （2） t1?v?kv飞机沿CD运动时的速度为v?V?v?kv，飞机从C飞到D所花时间为 10 t2?l （3） v?kv飞机沿BC运动和沿DA运动所花的时间是相同的，为了使飞机沿矩形线运动，飞机相对于地的飞行速度方向应与运动路径成一夹角，使得飞机速度时的速度v在水平方向的分量等于?kv，故飞机沿BC运动和沿DA运动的速度大小为v2?k2v2，飞机在BC和DA上所花的总时间为 t3?2l （4） v2?k2v2综上，飞机在有风沿此矩形路径运动所花的总时间，即周期为 T??t1?t2?t3?lv?kv?lv?kv?2lv2?k2 v2利用（1）式，（5）式变为 2T(1?1?k2)2T??4(1?k2)?T(4?k)4(1?k2) 飞机在有风时的周期与无风时的周期相比，周期增加值为 ?T?T?T??T(4?k2)3k2T4(1?k2)?T?4 11 （5）