反例在数学中的应用
指导教师：姜雷 课题组组长：白雨璐
课题组组员：2018届高一（15）班白雨璐 张栩源 申杰 杨菊 调查时间：2013年7月20日—8月15日 调查方法：调查法、查阅资料法
调查对象：数学反例在解决数学问题中的应用
调查目的：了解数学反例在解决数学问题中的意义及其作用，开阔思路 一、研究性学习开展的背景
课题的意义与价值（为什么要进行本课题的研究）：
反例不仅可以帮助人们深入地理解有关数学对象的性质，而且对于推动数学科学发展，促进人的辩证思维方式的形成，具有的深刻意义。
二、研究性学习小组成员分工（具体到每一个成员）
查找资料（白雨璐，张栩源）；完成论文（杨菊）；活动记录（申杰）
三、研究的目标与内容
课题研究所要解决的主要问题是什么，通过哪些内容的研究来达成这一目标： 针对数学分析中的一些概念，运用恰当的反例从另一侧面抓住概念的本质，从而加深对知识的理解。
预期成果及其表现形式（研究的最终成果以什么样的形式展现出来，是论文、实验报告、实物还是其他形式）：
小论文
四、预期成果及其表现形式（研究的最终成果以什么样的形式展现出来，是论文、实验报告、实物还是其他形式）：
通过参与本次研究性学习活动，所取得的研究成果是：小论文《反例在数学中的应用》。从能力方面看，我们不仅学会了多种研究方法，还学会了如何书写一篇相对严格的科研性质的文章，了解了很多科研方面的手段。培养了认真、踏实、严谨、求实的科学态度；不怕吃苦、勇于克服困难的意志品质；学会通过多种途径获取信息，整理与归纳信息，判断知识和识别信息的价值，恰当利用信息；综合运用已有知识、技能和经验分析、解决问题的水平得到提升；创新精神和实践能力得到发展。
五、资源设计
学生计划使用的资源：网络
六、研究性学习的阶段设计（时间安排、每个时间段预计成果）
7月20日到7月27日：搜集资料，确定课题，商议相关研究细则及方法。 7月28日到8月5日：进行资料的整理分析与阅读，并亲身实践。
8月6日到8月15日：对研究结果进行整理分析，小组讨论完成相关文章书写总结收获与感悟。
七、调查结果
反例在数学中的应用
在数学学习中，要证明一个命题正确，必须经过严格的推证，而要否定一个命题却只需举出一个与结论相矛盾的例子就行。这种与命题相矛盾的例子称为反例。反例具有直观、说服力强等突出特点，它在数学教学中得到广泛运用。因此在中学数学学习中有意识地使用反例，并加强对反例构造方法的指导，对学生创新思维的发展是大有裨益的。
数学是一门严谨的学科，主要体现于对数学概念的理解、解决实际数学问题的思维。
1、反例用于强化概念
在概念的学习中，有些学生不注意领会定义中的关键性词句，不善于抓住概念的本质属性，经常出现理解上的混肴或应用上的失误。对此，我们不仅要运用正面的例子加以阐述，而且要善于借助反例的简明且具有说服力的否定来澄清自己的片面认识，强化对概念的理解，这样往往能起到正面例子难以起到的作用。
例如，学习《等腰直角三角形》时，等腰直角三角形的本质属性较多，内涵丰富， 由“等腰”、“直角”、“三角形”三方面组成。一些学生学习后，不是丢了等腰，就是忘了直角，有的甚至连三角形的两边之和大于第三边都不考虑了。此时要举反例，如“直角”常为学生忽视，错把等腰三角形判定为等腰直角三角形，这时老师应出示等腰直角三角形的正确图形，引导学生在比较中再次认识“直角”，否定错误的认识。另外“等腰”、“三角形”等性质亦可如是强调。因此，当学生对内涵丰富的知识感知不全时可通过数学反例，突显出所学知识中易为学生忽视的本质属性，促进学生对所学知识的全面认识，深刻理解
又如，对正三棱锥的概念，学生往往忽视“顶点在底面的射影是底面的中心”这一条件，误认为“底面是正三角形，各侧面均为等腰三角形的三棱锥就是正三棱锥”。
对此，可举反例如下：如图1所示，三棱锥ABC-S中，AB=BC=AC=SC=2,SA=SB=3。 显然底面为正
三角形，侧面均为等腰三角形，但三锥棱ABC-S却不是正三棱锥。
2、反例用于纠正错解
面对学生解题中所出现的共性错解，教师一般不要急于点破，而应示以反例，曲中窥直，用反例说明解法有误，从而引导学生去追寻问题错误的根源，并指
导学生纠正错误，最终让师生共同品尝成功的“甘甜”。
例如，学生在学习了等比数列前n项和公式后，在求等比数列前n项和往往直接应用公式Sn，而不考虑公比是否等于1。对此，教师可以设计这样一道 题，求和：cos a+cos 2a+cos3a+??+cos na.
多数学生都能熟练地套用公式，但大多数学生都忽略了cosa=0和cosa=1这两种情况应另类虑经教师提醒后，学生终于认识到cosa=0时，{cosna}不是等比数列；当cosa=1时，{cosna}虽是等比数列，但q=1，因此求和时也不能套用上面的公式。这一反例可以促进学生对等比数列分类条件的重视，使学生知道对待每一个数学问题，必须仔细观察，培养自己敏锐的观察力和丰富的想象力，提高数学思维的严密性。
很喜欢这次活动，让我学到了很多知识，锻炼了有趣的能力。在这次活动中不仅丰富了我的专业知识，还锻炼了我的动手能力，更增进了我和其他同学的友谊。
------------------白雨璐
通过研究性学习，让我们把平时学到的知识运用到了生活实践中，我们了解了自己身边的数学题的不同解法，收获很多，同学们在调查中都充分发挥自己的作用，积极投入的参加活动，按照分工，把学习活动搞得有声有色。
------------------张栩源
在活动中，我们遇到很多困难。但这同时也是我们的一种收获。我们就是这样不断的鼓励自己，想尽一切办法，发挥每个人的主观能动性，利用一切可以利用的资源。当我们拿到一份份详细的资料，我们的内心充满了自豪。
------------------申杰
通过这次研究性学习活动。我们增进了小组组员之间的感情，提高了我们对数学学习的热情。想不到一道数学题也可以用反例来解释。可以说，通过此次研究性学习，我们每个人都获益匪浅。
------------------杨菊
以上就是我们小组的数学研究性学习的感想。