1. 产品质量m = 10(kg)。所用缓冲衬垫的弹性模量E = 800(kPa)，衬垫面积A = 400(cm)，衬垫厚度h分别取1.10、2.16、5.28(cm)，试求这三种情况下衬垫的弹性常数及产品衬垫系统的固有频率。
解 衬垫厚度h =l.10(cm)时，其弹性常数为
2
k?EA80?400??29.09（kN/cm） h1.10产品衬垫系统的固有频率为
1fn?2?k1?m2?29.09?105?70（Hz）
15衬垫厚度h =2.16(cm)时其弹性常数为
k?EA80?400??14.81（kN/cm） h2.16产品衬垫系统的固有频率为
1fn?2?k1?m2?14.81?105?50（Hz）
15衬垫厚度h =5.28(cm)时，其弹性常数为
k?EA80?400??6.06（kN/cm） h5.28k1?m2?6.06?105?32（Hz）
15产品衬垫系统的固有频率为
1fn?2?设阻尼比为?3.已知一包装件产品质量 m = 8 kg，缓冲垫等效弹性系数为k = 500 N/m，将其简化为有阻尼单自由度模型，
?0.05。当其作有阻尼自由振动时给一个初始位移为 A = 0.02 m，使之从静止开始振动，
求振动周期、位移方程，并计算振动多少次后的振幅小于初始振幅的10%。 解：固有园频率
??2?fm?k500??7.91（rad/s） m8阻尼系数
n????7.91?0.05?0.395
①振动周期
T1?2??1??2?2?3.147.91?1?0.052?0.795（s）
初始条件
x0?0.02 v0?0
A??nx0?v0?x2?02?2?n2??0.395?0.02?0?0.022?027.912?0.3952?0.02（m）
?x?2?n2??arctan?02?nx0?v0?②位移方程
??0.02?7.912?0.3952??arctan???0.395?0.02?0?????87.14° ??x?t??0.02e?0.395tsin?7.91t?87.14?
d?enT1?e0.395?0.795?1.369
③振幅比
A1?0.1A1 di1di??10
0.1i?7.334约为8次 Ai?1?
5.产品中易损零件的固有频率fsn =70(Hz)，阻尼比?s=0.07，产品衬垫系统的阻尼比?=0.25，固有
?m?3g，试分析y频率fn分别为70、50、32(Hz)，已知振动环境的激振频率f =1～100(Hz)，加速度峰值?这三种情况下缓冲衬垫的减振效果。
解 如果不包装，产品将直接受到振动环境的激励，易损零件将在f =70(Hz)时发生共振，共振时的放大系数及加速度峰值为
Hmax?12?s?1?7.14
2?0.07??sm?Hmax??m?7.14?3g?21.42g xy(1)fn =70(Hz)的情况
因为fn = fsn，易损零件的两次共振归并为一次，发生在f ＝70(Hz)时，共振时的放大系数及加速度峰值为
H2?12?s11?4?0.252??15.97 222?0.074?4?0.25??sm2?H2??m?15.97?3g?47.91g xy1?4?2加速度峰值是无包装的2.24倍。由此可见，缓冲衬垫在这种情况下不但不能减振，反而加剧了易损零件的振动。
(2) fn =50(Hz)的情况
易损零件第—次共振发生在f =50(Hz)时，λs =50/70=0.71，其放大系数及加速度峰值为
H1?11??2s1?4?24?2?11?0.7121?4?0.2524?0.252?4.52
??sm1?H1??m?4.52?3g?13.56g xy易损零件第二次共振发生在f =70(Hz)时，λ =70/50=1.4，其放大系数及加速度峰值为
H2?12?s1?4?2?2?1???22?4?2?2222
?12?0.071?4?0.25?1.4?1?1.4?4?0.25222?7.54?1.4??sm2?H2??m?7.54?3g?22.62g xy第二次共振的加速度峰值与无包装相等，有包装与无包装—样，所以缓冲衬垫没有减振效果。
(3) fn =32(Hz)的情况
易损零件的第一次共振发生在f =32(Hz)时，λs =32/70=0.46，其放大系数及加速度峰值为
H1??21??24?1?0.4624?0.252s??sm1?H1??m?2.84?3g?8.52g xy11?4?211?4?0.252?2.84
易损零件的第二次共振发生在f =70(Hz)时，λ =70/32=2.19，其放大系数及加速度峰值为
1H2?2?s?12?0.07?1????4?22221?4?2?222?
222?1?2.19?4?0.25?2.191?4?0.25?2.192?2.68??sm2?H2??m?2.68?3g?8.04g xy11.产品质量m＝10(kg)，衬垫面积A＝120(cm2)，衬垫厚度h＝3.6(cm)，缓冲材料的弹性模量E＝700(kPa)，包装件的跌落高度H＝75(cm)，不计系统的阻尼和衬垫的塑性变形，试求跌落冲击过程的衬垫最大变形、产品最大加速度、冲击持续时间和速度改变量。
解: 产品衬垫系统的固有频率为:
ω＝
EA700?103?120?10?4＝153（rad/s）
?mh10?3.6?10?2f n＝
?153＝25（Hz） ?2?2?产品的冲击持续时间为:
τ＝1/2 f n＝1/（2×25）＝0.02（s）
衬垫的最大变形为:
x m＝
2gH??2?9.8?0.75＝2 .51（cm）
153产品的最大加速度为:
??m＝ω2gH＝1532?9.8?0.75＝587（m/s2） xG m＝
??m587x＝60 ?g9.8产品的速度改变量为:
v＝2
作业五
1. 一包装件中，产品质量m = 8kg，产品脆值G = 45，衬垫面积A = 554cm2，衬垫厚度h = 5.87cm，衬垫材料为密度0.152g/cm3的泡沫聚氨酯，其C—σm曲线如图3所示，该包装件自高度为H =40cm处跌落，试问内装产品是否安全？
解 材料的C值与?m值必须满足下式：
2gH＝22?9.8?0.75＝7.67 （m/s）
Ah554?5.87?10?6C??m??m?104?m
WH8?9.8?0.4式中?m的单位取MPa。由于采用对数坐标，在图上直线C =104?m被变换成了曲线，此曲线与C??m曲线的交点坐标：C = 4，?m= 0.04MPa，故产品最大加速度为
Gm?
CH4?40??27.26 h5.87显然，Gm＜G，产品落地后是安全的。
图3 2. 产品质量m =10kg，产品脆值G =60，设计跌落高度H =80cm，选用密度为0.014g/cm3的泡沫聚苯
乙烯（图4）对产品作局部缓冲包装，试计算衬垫的厚度和面积。