八、四边形(4课时)
教学目标：
1． 立足教材，打好基础，查漏补缺，系统复习，熟练掌握本部分的基本知识、基本方法和
基本技能. 2． 让学生自己总结交流所学内容，发展学生的语言表达能力和合作交流能力．
3． 通过学生自己归纳总结本部分内容，使他们在动手操作方面，探索研究方面，语言表达
方面，分类讨论、归纳等方面都有所发展．
教学重点与难点
重点：将本部分的知识有机结合，强化训练学生综合运用数学知识的能力，． 难点：把数学知识转化为自身素质. 增强用数学的意识． 教学时间：4课时
【课时分布】
四边形部分在第一轮复习时大约需要4个课时，其中包括单元测试．下表为内容及课时安排: 课时数 1 2 1 平行四边形 特殊的平行四边形（矩形、菱形、正方形） 梯形 四边形单元测试与评析 内 容 教学过程：
【知识回顾】 1、知识脉络
矩 形 平行四边形 正方形 菱 形 四
边
形 等腰梯形 梯 形 直角梯形
2、基础知识
（1）平行四边形是中心对称图形，具有两组对边分别平行且相等、对角相等及邻角互补、两条对角线互相平分等特征． （2）平行四边形的识别方法有：
①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ②两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ③对角线互相平分的四边形是平行四边形； ④两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ⑤两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
（3）矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们除了具有平行四边形的所有特征外，
还具有以下性质：
矩形：四个角都是直角、对角线互相平分且相等．
菱形：四条边都相等、对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角．
正方形：四条边都相等、四个角都是直角、对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角（具有矩形、菱形的所有特征）．
（4）矩形、菱形、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形；矩形、菱形都有两条对称轴，而正方形有四条对称轴，它们的对称中心都是对角线的交点． （5）矩形、菱形、正方形的识别方法有：
①有三个角是直角的四边形是矩形； ②有一个角是直角的平行四边形是矩形； ③两条对角线相等的平行四边形是矩形； ④有四条边相等的四边形是菱形；
⑤有一组邻边相等的平行四边形是菱形； ⑥两条对角线垂直的平行四边形是菱形； ⑦有一组邻边相等的矩形是正方形； ⑧有一个角是直角的菱形是正方形．
（6）有且只有一组对边平行的四边形叫做梯形，这组平行的边叫做梯形的上底与下底，不平行的两边叫做梯形的腰，两腰相等的梯形叫做等腰梯形，有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．
（7）等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是过两底中点的直线，它有以下特征：
①等腰梯形同一底上的两个内角相等； ②等腰梯形的两条对角线相等． （8）等腰梯形的识别方法有：
①同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；
②两条对角线相等的梯形是等腰梯形． 3、能力要求
例1 下列哪一个角度可能成为某个多边形的内角和（ ） A．260° B．1980° C．600° D．2180°
【分析】（1）多边形问题一般可转化为三角形问题来解决，从n边形的一个顶点出发可以连结（n－3）条对角线，可将n边形分割成（n－2）个三角形，内角和为(n?2)?180?，因此，n边形的内角和必为180°的整数倍．
（2）求正多边形的内角和，可先求其每个外角的度数，因为多边形的外角和是一个常量，即360°．正n边形的每个外角为
360?360?，其每个内角即为(180??)． nn【解】1980°是180°的整数倍，故选B．
【说明】本题要求学生熟记多边形的内角和与外角和公式，也可以利用公式求出多边形的边数，教师在复习时要引导学生掌握用分割法确定多边形的对角线条数、三角形的个数等变化规律．
例2 如图（8-1）YABCD中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，FEDC交CD于点E、F，AE、BF相交于点M．
M（1）试说明：AE⊥BF；
AB（2）判断线段DF与CE的大小关系，并予以说明． 8-1【分析】要证AE⊥BF，可探求△ABM中∠BAE与∠ABF和的度数，
通过正确识图分析，把已知条件巧妙转化．判断线段DF与CE的大小关系时，先探求DE与CF的大小关系，可在△ADE、△BCF中寻求相等的数量关系，再依据YABCD对边相等的性质过渡求证．
【解】（1）方法一：如图（8-2），
∵在YABCD中，AD∥BC， ∴∠DAB＋∠ABC＝180°， FEDC∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC， ∴∠DAB＝2∠BAE，∠ABCM＝2∠ABF．
AB∴2∠BAE＋2∠ABF＝180°，即∠BAE＋∠ABF＝90°． 8-2∴∠ABM＝90°． ∴AE⊥BF．
方法二：如图（8-3），延长BC、AE相交于点P， ∵在YABCD中，AD∥BC， ∴∠DAP＝∠APB． P∵AE平分∠DAB， ∴∠DAP＝∠PAB． FEDC∴∠APB＝∠PAB． ∴AB＝BP．. M∵BF平分∠ABC， ∴AP⊥BF，即AE⊥BF．
AB（2）线段DF与CE是相等关系，即DF＝CE， 8-3∵在YABCD中，CD∥AB，∴∠DEA＝∠EAB．
又AE平分∠DAB， ∴∠DAE＝∠EAB． ∴∠DEA＝∠DAE． ∴DE＝AD．同理可得 ∴CF＝BC． 又∴在YABCD中，AD＝BC，∴DE＝CF． ∴DE－EF＝CF－EF，即DF＝CE．
【说明】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、垂直的定义、等腰三角形的性质等知识的综合应用，同时本题的第（2）问也是一道开放性试题． 例3 已知如图（8-4），在△ABC中，AB＝AC，若将△ABC绕点AC顺时针旋转180°得到△FEC．
180°E（1）猜想AE与BF有何关系？说明理由； BC2
（2）若△ABC面积为3cm，求四边形ABFE的面积；
8-4F（3）当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形？说明理由．
【分析】根据图形旋转的性质可证△ACE≌△FCB，其实旋转变换
后，△ABC与△FEC关于点C成中心对称；欲判断YABFE为矩形，可考虑证明对角线AF＝BE，再探求∠ACB的度数．
【解】（1）旋转可知，AC＝CF，BC＝CE，∠ACE＝∠BCF， ∴△ACE≌△FCB， ∴AE＝BF，∠EAF＝∠BFA． ∴AE∥BF． 即AE与BF的关系为平行且相等．
（2）由（1）知：SVACE?SVBCF．又∵BC＝CE，∴SVABC?SVACE．
2同理，SVCEF?SVBCF．∴S四边形ABFE?3?4?12(cm)．
（3）当∠ACB＝60°时，四边形ABFE为矩形．
理由：∵BC＝CE，AC＝CF，∴四边形ABFE为平行四边形．当∠ACB＝60°时，△ABC为等边三角形．∴BC＝AC，∴AF＝BE，∴四边形ABFE为矩形．
【说明】《新课标》在四边形内容中加强了与对称、平移、旋转几何变换的联系．本题以两图形成对中心对称的特性为背景设计，结合三角形全等、特殊四边形的性质与判断进行考查．教师在复习时要加强几何变换中识图能力的训练．
例4 将两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起得到如图（8-5）所示的四边形ABCD．