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习题一
一、考虑二次函数f(x)=
x1?2x1x2?3x2?x1?x2
1TTQx?x xb2221) 写出它的矩阵—向量形式: f(x)=2) 矩阵Q是不是奇异的?
3) 证明: f(x)是正定的 4) f(x)是凸的吗? 5) 写出f(x)在点x=解:1) f(x)=
2(2,1)2T处的支撑超平面(即切平面)方程
x1?2x1x2?3x2?x1?x2
T?2??x1???1?1?x1??2???+???? =?????2?x2??26???x2??1????x1??? ???x2?其中
?x1??22???1???x=?? ,Q=? , b=?26??1?? ???????x2? 2) 因为Q=??22?22?? ,所以 |Q|==8>0 即可知Q是非奇异的 ?26?26?2226=8>0 ,所以Q是正定的,故f(x)是正定的
3) 因为|2|>0,
4) 因为
?2?22?2?,所以|f(x)=?f(x)|=8>0,故推出??26????2f(x)是正定的,即
?2f(x)是凸的
5) 因为?f(x) =
(2x1?2x2-1,2x1?6x2?1)T,所以?f(x)=(5,11)
所以 f(x)在点x处的切线方程为5(
x?2)+11(x122?1)=0
二、 求下列函数的梯度问题和Hesse矩阵 1) f(x)=2
x1+xx122?9x1x3?3x2+x2x3?2x2
2 2) f(x)=ln(
x12+
x1x2?x2)
解: 1) ?f(x)= (4x?x12?9x3, x?6x?x?2, 9x?x)
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?2?419???f(x)=?161?
?910??? 2) ?f(x)=(
2x1?x2x1?xx?x11222 ,
x?2xx1?xx?x1122122)
?2?2?22?2x1x1x2?x22?22?)?(?f(x)=?x12x1x2x22??4x1x2?x2?x12?22?(x?xx?x)122?13222?x1?4x1x2?x2??2?2(x1?x1x2?x22)? 22??2?2x1x1x2x2?222?(x1?x1x2?x2)??(1)T三、设f(x)=
x1?x2?2x3?2x2x3?x2?x3,取点x?(1,1,1).验证d=(1,0,-1)是
2(1)
f(x)在点
x(1)处的一个下降方向,并计算
min(1)(1)f(x+td) t?0T 证明: ?f(x)=(2 x,3x2?2x?1
123,4x3?2x2?1)?2??? d?f(x1)=(1,0,-1)?4?= -3<0
?5???所以f(
d
(1)
是f(x)在
(1)
x(1)处的一个下降方向
x(1)+t
d
)=f((1+t,1,1-t)) =(1?t)2?1?2(1?t)?2(1?t)?1?(1?t)?3t?3t?4
22?f(x+td)=6t-3=0 所以t=0.5>0
所以
(1)(1)
min(1)(1)
f(x+td)=3*0.25-3*0.5+4=3.25 t?0四、设
aj ，b ，
cnj（j=1,2,….,n）考虑问题
jjMin f(x)=
nc?xj?1
s.t.
?axj?1jj?b
xj?0 (j=1,2,….,n)
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1) 写出其Kuhn Tuker 条件
112) 证明问题最优值是 nb[?j?1(ajcj)2] 解：1）因
所以
2x(j?1,....,n) 为目标函数的分母故xj?jj?0
?（j=1,…,n）都为0
所以Kuhn Tuker 条件为 ?f(x)???h(x)?0
?c1????2?x?1?a1???????c2???2?+?a2=0 即 ?????x2?????????an??cn??2?????xn? 2）将
xj?nc?ajjj代入 h(x)=0 只有一点
j22 得
?nacj?1?b???bn(?j?1
ajcj)?acc 故有x?baj?1jjjnjj
211 所以最优解是 n()?2[]acbjjj?1五、使用Kuhn Tuker 条件，求问题
(x1?1)?(x2?2)x?x?1s.t. x?x?2
x?0,x?0min f(x)=
21112222
的Kuhn Tuker 点，并验证此点为问题的最优解 解：x=(1/2,3/2) ?0 故
??，1??2=0
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