新北师大版八年级下册《三角形的证明》

三角形的证明

【知识点一:全等三角形的判定与性质】 1.判定和性质

判定 角角边(AAS)、边边边(SSS) 对应边相等,对应角相等 性质 对应中线相等,对应高相等,对应角平分线相等 斜边和一条直角边对应相等(HL) 一般三角形 边角边(SAS)、角边角(ASA) 直角三角形 具备一般三角形的判定方法 2.证题的思路:

??找夹角(SAS)???已知两边?找直角(HL)?找第三边(SSS)?????若边为角的对边,则找任意角(AAS)????找已知角的另一边(SAS)??已知一边一角?? ??边为角的邻边?找已知边的对角(AAS)?找夹已知边的另一角(ASA)????????找两角的夹边(ASA)?已知两角???找任意一边(AAS)?【典型例题】

1.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示,则能说明∠AOC=∠BOC的依据是( ) A.SSS B.ASA

C.AAS D.角平分线上的点到角两边距离相等 2.下列说法中,正确的是( )

A.两腰对应相等的两个等腰三角形全等 B.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 C.两锐角对应相等的两个直角三角形全等 D.面积相等的两个三角形全等 3.如图,△ABC≌ΔADE,若∠B=80°,∠C=30°,∠DAC=35°, 则∠EAC的度数为( ) A.40°

B.35°

C.30°

D.25°

4.已知:如图,在△MPN中,H是高MQ和NR的交点,且MQ=NQ.求证:HN=PM.

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5.用三角板可按下面方法画角平分线:在已知∠AOB的两边上,分别取OM=ON (如图5-7),再分别过点M、N作OA、OB的垂线,交点为P,画射线OP,则OP平分∠AOB,请你说出其中的道理.

图5-7

【巩固练习】

1.下列说法正确的是( )

A.一直角边对应相等的两个直角三角形全等 B.斜边相等的两个直角三角形全等 C.斜边相等的两个等腰直角三角形全等 D.一边长相等的两等腰直角三角形全等 2.如图,在△ABC中,D、E分别是边AC、BC上的点,若△ADB≌

△EDB≌△EDC,则∠C的度数为( ) A.15° B.20°

C.25°

D.30°

3.如图,已知△ABC的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中,和△ABC全等的图形是 ( )

A.甲和乙

B.乙和丙

C.只有乙

D.只有丙

4.如图4-9,已知ΔABC≌ΔA'B'C',AD、A'D'分别是ΔABC和ΔA'B'C'的角平分线.

(1)请证明AD=A'D';

(2)把上述结论用文字叙述出来; (3)你还能得出其他类似的结论吗?

图4-9

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5.如图4-10,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线l经过顶点C,过A、B两点分别作l的垂线AE、BF,E、F为垂足.

(1)当直线l不与底边AB相交时,求证:EF=AE+BF.

图4-10

(2)如图4-11,将直线l绕点C顺时针旋转,使l与底边AB交于点D,请你探究直线l在如下位置时,EF、AE、

BF之间的关系.

①AD>BD;②AD=BD;③AD<BD.

图4-11

【知识点二:等腰三角形的判定与性质】

等腰三角形的判定:有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边) 等腰三角形的性质:

① 等腰三角形的两底角相等(等边对等角);

② 等腰三角形“三线合一”的性质:顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合; ③ 等腰三角形两底角的平分线相等,两腰上的高、中线也相等.

【典型例题】

1.等腰三角形的两边长分别为3和6,则这个等腰三角形的周长为( )

A.12

B.15 C.12或15

D.18

2.等腰三角形的一个角是80°,则它顶角的度数是( )

A.80°

B.80°或20°

C.80°或50°

D.20°

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