图2-1 A.C.
222
B. 3466 D. 43
【答案】C
DE22BCBD【解析】∵DE＝22，∴BD＝AD＝＝.∵∠BDC＝2∠A，在△BCD中，由正弦定理得＝，sin Asin Asin∠BDCsin C∴
4222426
＝×＝，∴cos A＝，故选C. sin 2Asin A433sin A15．设角A，B， C是△ABC的三个内角，则“A＋B D．既不充分也不必要条件 【答案】A π 【解析】由A＋B＋C＝π，A＋B 216．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若三边的长为连续的三个正整数，且A>B>C,3b＝20acos A，则sin A∶sin B∶sin C＝( ) A．4∶3∶2 B．5∶6∶7 C．5∶4∶3 D．6∶5∶4 【答案】D 【解析】∵A>B>C，∴a>b>c. 又∵a，b，c为连续的三个正整数， ∴设a＝n＋1，b＝n，c＝n－1(n≥2，n∈N)． 3b∵3b＝20acos A，∴＝cos A， 20a* 6 3bb＋c－a∴＝， 20a2bc20即 3nn＋n－1－n＋1 ＝n＋12nn－13nnn－4 ＝， 20n＋12nn－1 2 2 2 2 222 ， 化简得7n－27n－40＝0，(n－5)(7n＋8)＝0， 8??∴n＝5?n＝－舍?. 7??又∵＝＝， sin Asin Bsin C∴sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝6∶5∶4. 故选D 17．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csin A＝3acos C，则sin A＋sin B的最大值是( ) A．1 B．2 C．3 D.3 【答案】D abc 18．已知在△ABC中，B＝2A，∠ACB的平分线CD把三角形分成面积比为4∶3的两部分，则cos A＝__________. 2【答案】 3 【解析】由题意可知S△ACD∶S△BCD＝4∶3， 7 ∴AD∶DB＝4∶3，AC∶BC＝4∶3，在△ABC中，由正弦定理得 4 sin B＝sin A， 3 42 又B＝2A，∴sin 2A＝sin A，∴cos A＝. 33 19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若∠B＝∠C，且7a＋b＋c＝43，则△ABC面积的最大值为__________. 【答案】5 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 【解析】法一：由∠B＝∠C得b＝c，代入7a＋b＋c＝43，得7a＋2b＝43，则2b＝43－7a，由余 222 a2＋b2－c2a4b－a83－15a2 弦定理得cos C＝＝，所以sin C＝1－cosC＝＝，则△ABC的面积为S2ab2b2b2b11 ＝absin C＝ab×2215a＋ 2 2 83－15a1 ＝ 2b4 2 a23－15a2 ＝ 1415 15a2 3－15a2 ≤ 1415 × 3－15a2 158352 ＝×43＝，当且仅当a＝时取等号，则△ABC的面积的最大值为. 5305415 1 法二：由∠B＝∠C得b＝c，所以7a＋b＋c＝43，即为7a＋2c＝43，则△ABC面积为a 2 2 2 2 2 2 c－＝4 2 a2 1 415 15a2c2－a2≤8355×＝，所以最大值为. 255415 1 20．如图2-3，△ABC中，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝∠D＝60°，若△ADC是锐角三角形，则DA＋DC的取值范围是__________． 图2-3 【答案】(6,43] 【解析】在△ABC中，由余弦定理得AC＝AB＋BC－2AB·BCcos∠ABC＝12，即AC＝23.设∠ACD＝23DAθ(30°<θ<90°)，则在△ADC中，由正弦定理得＝＝ sin 60°sin θ 2 2 2 DC120°－θ ，则DA＋DC＝4[sin 3?3? θ＋sin(120°－θ)]＝4?sin θ＋cos θ?＝43sin(θ＋30°)，而60°<θ＋30°<120°，43sin 2?2?60° 8