高考数学 专题06 三角恒等变换与解三角形热点难点突破 理

πππ3π

且当2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z)时,f(x)单调递增,即kπ-π≤x≤kπ+(k∈Z).

242883ππ??所以?kπ-,kπ+?(k∈Z)为f(x)的单调递增区间.5分 88??ππ7π?π?(2)当x∈?0,?时?≤2x+≤,7分 6?4412?π?πππ?当2x+=,即x=时,sin?2x+?=1.

4?428?所以f(x)max=2+1+a=2?a=1-2.10分

ππkππkππ

由2x+=kπ+得x=+(k∈Z),故y=f(x)的对称轴方程为x=+,k∈Z.12分

422828

π

26.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)x∈R,A>0,ω>0,0<φ<的部分图象如图1-8所示,P是图象的

2最高点,Q为图象与x轴的交点,O为坐标原点.若OQ=4,OP=5,PQ=13.

图1-8

(1)求函数y=f(x)的解析式;

(2)将函数y=f(x)的图象向右平移2个单位后得到函数y=g(x)的图象,当x∈(-1,2)时,求函数h(x)=

f(x)·g(x)的值域.

4+

【解析】(1)由条件知cos ∠POQ=2

5

2

-13

2

2×4×5

5

.2分 5

又cos ∠POQ=

xP,∴xP=1,∴yP=2,∴P(1,2).3分 5

2ππ

由此可得振幅A=2,周期T=4×(4-1)=12,又=12,则ω=.4分

ω6

?π?将点P(1,2)代入f(x)=2sin?x+φ?,

?6?

得sin?

?π+φ?=1.

??6?

π?ππ?π

∵0<φ<,∴φ=,于是f(x)=2sin?x+?.6分

3?23?6(2)由题意可得g(x)=2sin?

?6

x-

ππ+?=2sin x.7分 ?3?6

π?π?π

∴h(x)=f(x)·g(x)=4sin?x+?·sin x

3?6?6

11

=2sin

2

πππx+23sin x·cos x 666

π?ππ?π

=1-cos x+3sin x=1+2sin?x-?.9分

6?33?3ππ?ππ?当x∈(-1,2)时,x-∈?-,?,10分

36?22?π??π

∴sin?x-?∈(-1,1),

6??3即1+2sin?

?πx-π?∈(-1,3),于是函数h(x)的值域为(-1,3).12分

6??3?

112

27.已知函数f(x)=23sin xcos x-sinx+cos 2x+,x∈R.

22

?ππ?(1)求函数f(x)在?-,?上的最值;

?42?

π

(2)若将函数f(x)的图象向右平移个单位,再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,

46?4π11π?,求cos?α-π?的值.

得到g(x)的图象.已知g(α)=-,α∈?,?26?6?5?3???

π

(2)若将函数f(x)的图象向右平移个单位,再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,

4

?π?得到g(x)=2sin ?x-?.7分

3??

π?π?6??由g(α)=2sin?α-?=-,得sin?α-? 3?3?5??3

=-.8分

5∵

4π11ππ3π<α<,∴π<α-<, 3632

12

π?4?∴cos?α-?=-.10分 3?5?∵

παπ3π

<-<,11分 2264

1+cos??π?

α-3???1-4∴cos??απ?2-6???

=-=-

52

2

=-10

10

.12分 28.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,2 b sin B=(2a+c)sin A+(2c+a)sin C. (1)求B的大小;

(2)若b=3,A=π

4

,求△ABC的面积.

【解析】(1)∵2bsin B=(2a+c)sin A+(2c+a)sin C. 由正弦定理得2b2

=(2a+c)a+(2c+a)c,1分 化简得a2

+c2

-b2+ac=0,2分

∴cos B=a2+c2-b2-ac1

2ac=2ac=-2

.4分

∵0

3

.5分

(2)∵A=ππ4,∴C=π-4-2πππ

3=3-4

,6分

∴sin C=sin??πππππ?3-π4???=sin 6-23cos4-cos3sin4=4.8分

由正弦定理得cbsin C=sin B,9分

∵b=3,B=2πbsin C6-2

3,∴c=sin B=2

,10分

∴△ABC的面积S=116-2π3-3

2bcsin A=2×3×2×sin 4=4

.12分

29.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos B-2cos Acos C2a-b=c.

(1)求ab的值;

(2)若角A是钝角,且c=3,求b的取值范围.

【解析】(1)由题意及正弦定理得sin Ccos B-2sin Ccos A=2sin Acos C-sin Bcos C,1分 ∴sin Ccos B+sin Bcos C=2(sin Ccos A+sin A cos C), ∴sin(B+C)=2sin(A+C).3分 ∵A+B+C=π,4分

13

∴sin A=2sin B,∴=2.5分

abb2+9-a2b2+9-4b29-3b2

(2)由余弦定理得cos A===<0,

2b·36b6b∴b>3.①8分

∵b+c>a,即b+3>2b,∴b<3,②10分 由①②得b的取值范围是(3,3).12分

sin B+sin C2-cos B-cos C30.已知a,b,c为△ABC的内角A,B,C的对边,满足=,函数f(x)=sin

sin Acos A?π??π?ωx(ω>0)在区间?0,?上单调递增,在区间?,π?上单调递减.

3???3?

(1)证明:b+c=2a;

?π?(2)若f??=cos A,证明:△ABC为等边三角形.

?9?

2π4π3

(2)由题意知,=,解得ω=,7分

ω32π1?π?∵f??=sin ==cos A,A∈(0,π), 62?9?π

∴A=,8分

3

b2+c2-a21

由余弦定理知,cos A==,

2bc2

∴b+c-a=bc.∵b+c=2a, ∴b+c-?

2

2

2

2

2

2

2

?b+c?2=bc,

??2?

即b+c-2bc=0,∴b=c.10分

14

π

又A=,∴△ABC为等边三角形.12分

3

?π?2

31.已知函数f(x)=(a+2cosx)cos(2x+θ)为奇函数,且f??=0,其中a∈R,θ∈(0,π).

?4?

(1)求a,θ的值;

π?2?α??π??(2)若f??=-,α∈?,π?,求sin?α+?的值. 3?5?4??2??

解:(1)因为f(x)=(a+2cosx)cos(2x+θ)是奇函数,而y1=a+2cosx为偶函数,所以y2=cos(2x+θ)2

2

为奇函数,由θ∈(0,π),得θ=π2

,所以f(x)=-sin 2x·(a+2cos2

x),

由f??π??4??

=0得-(a+1)=0,即a=-1. (2)由(1)得f(x)=-12sin 4x,因为f??α?4??12?=-2sin α=-5, 即sin α=4?π?35,又α∈??2,π??,从而cos α=-5,

所以sin???α+π3???=sin αcosππ3+cos αsin3 =41?3?5?34-33

5×2+?-??×2=10

. 32.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a-c=6

6

b,sin B=6sin C. (1)求cos A的值; (2)求cos???

2A-π6???的值.

解:(1)在△ABC中,由bcsin B=sin C,及

sin B=6sin C,可得b=6c. 由a-c=

6

6

b,得a=2c. cos A=b2+c2-a26c2+c2-2bc=4c2所以26c2

=6

4. (2)在△ABC中,由cos A=610

4,可得sin A=4

. 于是cos 2A=2cos2

A-1=-1154,sin 2A=2sin A·cos A=4.

所以cos??π?

2A-6??ππ15-3?=cos 2A·cos6+sin 2A·sin6=8.

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