高考数学 专题06 三角恒等变换与解三角形热点难点突破 理

33.如图所示,在四边形ABCD中,∠D=2∠B,且AD=1, CD=3,cos B=

33

.

(1)求△ACD的面积; (2)若BC=23,求AB的长. 解:(1)因为∠D=2∠B,cos B=

33

, 所以cos D=cos 2B=2cos2

B-1=-13. 因为D∈(0,π), 所以sin D=1-cos2D=22

3

. 因为AD=1,CD=3,

所以△ACD的面积S=1122

2AD·CD·sin D=2×1×3×3=2.

(2)在△ACD中,AC2

=AD2

+DC2

-2AD·DC·cos D=12, 所以AC=23.

因为BC=23,AC=ABsin Bsin∠ACB, 所以23ABABABABsin B=π-2B=

sin 2B=2sin Bcos B=23

, 3

sin B所以AB=4.

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