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第1节 绝对值不等式
最新考纲 1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)；2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a.
知 识 梳 理
1.绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想. 2.含有绝对值的不等式的性质
(1)如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.
(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.( ) (2)不等式|x－1|＋|x＋2|＜2的解集为?.( )
(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立.( ) (4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立.( ) (5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ 2.不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是( )
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A.(－∞，4) B.(－∞，1) C.(1，4) D.(1，5)
解析 ①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2， ∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1.
②当1 ③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)<2，该不等式不成立. 综上，原不等式的解集为(－∞，4). 答案 A 3.(选修4－5P19习题T9改编)若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________. 解析 由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3， ∴|x＋1|＋|x－2|的最小值为3. 要使原不等式有解，只需|a|≥3，则a≥3或a≤－3. 答案 (－∞，－3]∪[3，＋∞) 4.若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________. 解析 ∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6. ∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2. 答案 2 5.(2016·江苏卷)设a>0，|x－1|<，|y－2|<，求证：|2x＋y－4| 33证明 因为|x－1|<，|y－2|<， 33所以|2x＋y－4|＝|2(x－1)＋(y－2)| 2aa≤2|x－1|＋|y－2|<＋＝a. 33故原不等式得证. 考点一 绝对值不等式的解法 【例1－1】 (2016·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|. (1)在图中画出y＝f(x)的图象； (2)求不等式|f(x)|>1的解集. aaaa精品推荐 精 品 试 卷 ?3?3x－2，－1 3 －x＋4，x>，??2 故y＝f(x)的图象如图所示. x－4，x≤－1， (2)由f(x)的解析式及图象知， 当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3； 1 当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5. 3 ??1 故f(x)>1的解集为{x|1 3????1 所以|f(x)|>1的解集为?x|x<，或1 3?? 【例1－2】 (2017·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝－x＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集； (2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1，1]，求a的取值范围. 解 (1)当a＝1时，f(x)＝－x＋x＋4， 2 2 f(x)≥g(x)?x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0. ①当x>1时，f(x)≥g(x)?x＋x－4≤0， 解之得1 17－1 . 2 2 ②当－1≤x≤1时，f(x)≥g(x)?(x－2)(x＋1)≤0， 则－1≤x≤1. ③当x<－1时，f(x)≥g(x)?x－3x－4≤0，解得－1≤x≤4， 精品推荐 2