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?120??2?2?????25.解（1）AB=?340??34?
??????121???10?T
?86???=?1810?. ???310?（2）|4A|=43|A|=64|A|，而
120|A|=340??2.
?121所以|4A|=64·（-2）=-128 31?1251?11?513?4?1113?126.解 ?201?100101?53?3?5?530511=?111?1 ?5?50511?62?30?10?40. =?620??5?5?5?5027.解 AB=A+2B即（A-2E）B=A，而
?223???（A-2E）-1=?1?10?????121??1?1?4?3?????1?5?3?. ????164??1?4?3??423?????所以 B=(A-2E)-1A=?1?5?3??110?
??????164???123??3?8?6???=?2?9?6?. ????2129???2130??0?53?2?????1?30?1?1?30?1???28.解一 ? ????0112?0224??????34?19??013?112??1?0?????0??005??1??112?0?????0088???0?14?14??03035??112?
011??000?Fpg
Fpg
?1?0?????0??0002??101?,
011??000?所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）. 解二 考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3，
??2x1?x2?3x3?0?x?3x??1?2即 ?1
2x?2x?43?2??3x1?4x2?x3?9.方程组有唯一解（2，1，1）T，组合系数为（2，1，1）.
29.解 对矩阵A施行初等行变换
?1?2?102???0006?2? A?????0328?2????0963?2?2??1?2?10?1?2?1???0328?3032??????????000?0006?2?????000?217??0002??8?3?=B. 3?1??00?0（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.
（2）由于A与Bの列向量组有相同の线性关系，而B是阶梯形，Bの第1、2、4列是
Bの列向量组の一个最大线性无关组，故Aの第1、2、4列是Aの列向量组の一个最大线性无关组。
（Aの第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）
30.解 Aの属于特征值λ=1の2个线性无关の特征向量为
ξ1=（2，-1，0）T， ξ2=（2，0，1）T.
?25/5??25/15?????经正交标准化，得η1=??5/5?，η2=?45/15?.
?0??5/3?????λ=-8の一个特征向量为
?1??1/3?????ξ3=?2?，经单位化得η3=?2/3?.
??????2/3???2??25/5215/151/3???所求正交矩阵为 T=??5/545/152/3?.
?05/3?2/3????100???对角矩阵 D=?010?.
???00?8?Fpg
?（也可取T=?25/5215/151/3???0?5/32/3??.）
?5/5?45/15?2/3??31.解 f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32 =（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x32.
??y1?x1?2x2?2x3?x1?y1?2设??yx?y22?2?x3， 即?x2?y2?y3， ???x?y?y3?x33?3?1?20?因其系数矩阵C=??011??可逆，故此线性变换满秩。
??001??经此变换即得f(x1，x2，x3)の标准形 y12-2y22-5y32 .
四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 32.证 由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E，
所以E-A可逆，且 （E-A）-1= E+A+A2 .
33.证 由假设Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0.
（1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b，所以η1，η2是Ax=bの2个解。 （2）考虑l0η0+l1η1+l2η2=0，
即 （l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=0.
则l0+l1+l2=0，否则η0将是Ax=0の解，矛盾。所以 l1ξ1+l2ξ2=0.
又由假设，ξ1，ξ2线性无关，所以l1=0，l2=0，从而所以η0，η1，η2线性无关。
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l0=0 .