3.2.3 直线与平面的夹角
学习目标：1.理解斜线和平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性.2.会求直线与平面的夹角．(重点、难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．直线和平面所成的角
思考：直线l的方向向量s与平面的法向量n的夹角一定是直线和平面的夹角吗？
?π?
[提示] 不是．直线和平面的夹角为?2－〈s，n〉?.
??2．最小角定理
[基础自测]
1．思考辨析
(1)直线与平面的夹角不是锐角就是直角．( ) (2)斜线和它在平面内的射影所成的角是锐角．( ) (3)直线与平面的夹角的范围是[0°，90°]．( ) [提示] (1) × 角的度数还可以是零度．
(2)√ (3)√
2．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，1
n〉＝－2，则直线l与平面α所成的角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150° 1
A [由cos〈m，n〉＝－2，得〈m，n〉＝120° ∴直线l与平面α所成的角为|90°－120°|＝30°.]
3．如图3-2-19所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为CC1的中点，则直线A1B与平面BDE所成的角为( )
【导学号：33242296】
图3-2-19
πππ5πA．6 B．3 C．2 D．6
→→→
B [以D为原点，DA，DC，DD1的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间1??
直角坐标系(图略)，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，E?0，1，2?，
??
1?→→?
所以DB＝(1,1,0)，DE＝?0，1，2?，
??
→
易得平面BDE的法向量n＝(1，－1,2)，而BA1＝(0，－1,1)， 1＋23→
∴cos〈n，BA1〉＝＝2，
23π→
∴〈n，BA1〉＝6.
?ππ?π
∴直线A1B与平面BDE所成角为?2－6?＝3.]
??
[合 作 探 究·攻 重 难]
用向量求直线与平面所成的角
1
已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝2AB，N
为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别是PB，BC的中点．
图3-2-20
(1)证明：CM⊥SN；
(2)求SN与平面CMN所成的角的大小．
[思路探究] 建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标，向量的坐标，计算→→
CM，SN的数量积，证明(1)；求出平面CMN的法向量，求线面角的余弦，求得线面角．
[解] 如图，设PA＝1，以A为原点，直线AB，AC，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
1?1???1??
1，0，，0，01，?，S?则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M?，N?2. 2?2，0???????1?→?
(1)证明：CM＝?1，－1，2?，
??1?→?1
SN＝?－2，－2，0?，
??