连续型 f(x,y)=fX(x)fY(y) 直接判断，充要条件： ①可分离变量 ②正概率密度区间为矩形 二维正态分布 ＝0 随机变量的函数 若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互独立， h,g为连续函数，则： h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互独立。 特例：若X与Y独立，则：h（X）和g（Y）独立。 例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。 （8）二设随机向量（X，Y）的分布密度函数为 维均匀 分布 其中SD为区域D的面积，则称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为（X，Y）～U（D）。 例如图3.1、图3.2和图3.3。 y 1 D1 O 1 x 图3.1 y D2 1 1
O 2 x
图3.2
y
D3
d
c
O a b x
图3.3
（9）二设随机向量（X，Y）的分布密度函数为 维正态
分布
其中 是5个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布， 记为（X，Y）～N（
由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布， 即X～N（
但是若X～N（ ，(X，Y)未必是二维正态分布。
（10）Z=X+Y 函数分布
根据定义计算： 对于连续型，fZ(z)＝
两个独立的正态分布的和仍为正态分布（ ）。
n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。 ， Z=max,min(X1,X2,…Xn) 若 相互独立，其分布函数分别为 ，则Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布函数为： 分布 设n个随机变量 相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和 的分布密度为 我们称随机变量W服从自由度为n的 分布，记为W～ ，其中 所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。 分布满足可加性：设 则 t分布 设X，Y是两个相互独立的随机变量，且 可以证明函数 的概率密度为 我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T～t(n)。 F分布 设 ，且X与Y独立，可以证明 的概率密度函数为 我们称随机变量F服从第一个自由度为n1，第二个自由度为n2的F分布，记为F～f(n1, n2). 第四章 随机变量的数字特征 （1）一 维随机期望 变量的数字特期望就是平均值 征 离散型 连续型 设X是离散型随机变量，其分布设X是连续型随机变量，其概率密律为P( )＝pk，k=1,2,…,n， 度为f(x)， （要求绝对收敛） （要求绝对收敛） Y=g(X) 函数的期望 Y=g(X) 方差 D(X)=E[X-E(X)]2， 标准差 ， 矩 ①对于正整数k，称随机变量X的①对于正整数k，称随机变量X的kk次幂的数学期望为X的k阶原点次幂的数学期望为X的k阶原点矩，矩，记为vk,即 记为vk,即 νk=E(Xk)= , k=1,2, …. νk=E(Xk)= ②对于正整数k，称随机变量X与 k=1,2, …. E（X）差的k次幂的数学期望为X②对于正整数k，称随机变量X与E的k阶中心矩，记为 ，即 （X）差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为 ，即 = ， k=1,2, …. = k=1,2, …. 切比雪夫不等式 设随机变量X具有数学期望E（X）=μ，方差D（X）=σ2，则对于任意正数ε，有下列切比雪夫不等式 切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率 的一种估计，它在理论上有重要意义。 （2）期（1） E(C)=C 望的性（2） E(CX)=CE(X) 质 （3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)， （4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X和Y独立； 充要条件：X和Y不相关。 （3）方（1） D(C)=0；E(C)=C 差的性（2） D(aX)=a2D(X)； E(aX)=aE(X) 质 （3） D(aX+b)= a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b （4） D(X)=E(X2)-E2(X) （5） D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X和Y独立； 充要条件：X和Y不相关。 D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。 而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。 （4）常 见分布0-1分布 的期望和方差 二项分布 泊松分布 几何分布 超几何分布 均匀分布 指数分布 正态分布 t分布 （5）二期望 维随机变量的期望 方差 2n (n>2) p np n 0