【大高考】2017版高考数学一轮总复习 第9章 平面解析几何 第6
节 直线与圆锥曲线的位置关系高考AB卷 理
直线与圆锥曲线的位置关系
1.(20142全国Ⅱ，10)设F为抛物线C：y＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( ) A.33
4
B.93
8
2
63C. 32
解析 易知直线AB的方程为y＝
9D. 4
3322
(x－)，与y＝3x联立并消去x得4y－123y－9＝34
9
0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝33，y1y2＝－. 4
S△OAB＝|OF|2|y1－y2|＝3
答案 D
1213392
（y1＋y2）－4y1y2＝27＋9＝.故选D. 2484
2.(20132大纲，8)椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA243斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是( )
x2y2
?13?A.?，? ?24??1?C.?，1? ?2?
x2y2
?33?B.?，? ?84??3?D.?，1? ?4?
解析 如图：设直线A2M的方程为y＝－(x－2)＝2－x， 代入椭圆方程＋＝1，并整理得7x－16x＋4＝0，
43
2
162?212?∴2＋x＝，∴x＝，∴M点坐标为?，?. 77?77?
?2624?设直线A2N的方程为y＝－2(x－2)＝4－2x，同理可得N点坐标为?，?，
?1919?
1
241933
∵kA1M＝＝，kA1N＝＝.
24268＋2＋2719
127
?33?∴直线PA1斜率的取值范围是?，?. ?84?
答案 B
x2y2
3.(20132全国Ⅱ，20)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：2＋2＝1(a>b>0)右焦点的直线xab1
＋y－3＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.
2(1)求M的方程；
(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值.
x2y2x2y2y1－y21122
解 (1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则2＋2＝1，2＋2＝1，＝－1，
ababx1－x2b2（x1＋x2）y2－y1
由此可得2＝－＝1.
a（y1＋y2）x2－x1
1
因为P为AB的中点，且OP的斜率为，
2所以x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，
y011
＝.所以y0＝x0， x022
1
即y1＋y2＝(x1＋x2).
2
所以可以解得a＝2b，又由题意知，
2
2
M的右焦点为(3，0)，故a2－b2＝3.
所以a＝6，b＝3. 所以M的方程为＋＝1.
63
(2)将x＋y－3＝0代入＋＝1，
63
43?x＝
?3，?x＝0，46解得?或?所以可得|AB|＝；
3y＝3.?3
y＝－??3由题意可设直线CD方程为y＝x＋m， 所以设C(x3，y3)，D(x4，y4)，
2
2
x2y2
x2y2
2
将y＝x＋m代入＋＝1得3x＋4mx＋2m－6＝0，
63422
则|CD|＝2（x3＋x4）－4x3x4＝9－m，
3又因为Δ＝16m－12(2m－6)>0，即－3 186 所以四边形ACBD面积的最大值为|AB|2|CD|＝. 23 轨迹与轨迹方程 4.(20162全国Ⅲ，20)已知抛物线C：y＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点. (1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ； (2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程. 2 2 2 x2y2 22 ?1?解 由题设F?，0?，设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0， ?2??a??b??1?且A?，a?，B?，b?，P?－，a?， ?2??2??2??1??1a＋b?. Q?－，b?，R?－，222?? ? ? ? 记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0. (1)证明 由于F在线段AB上，故1＋ab＝0. 2 2 a－ba－b1ab记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则k1＝＝＝－＝－b＝k2.所以 AR∥FQ. 2＝2 1＋aa－abaa(2)设过AB的直线为l，设l与x轴的交点为D(x1，0)， 1 则S△ABF＝|b－a||FD| 21?1?＝|b－a|?x1－?， 2?2? S△PQF＝|a－b|. 2 1?|a－b|?由题设可得|b－a|?x1－?＝，所以x1＝1，x1＝0(舍去). 2?2?设满足条件的AB的中点为E(x，y). 当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE可得1(x≠1). 当AB与x轴垂直时，E与D重合. 3 2ya＋b2 ＝(x≠1).而＝y，所以y＝x－a＋bx－12 所以，所求轨迹方程为y＝x－1. 5.(20162全国Ⅰ，20)设圆x＋y＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E. (1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程； (2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围. (1)证明 因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|. 又圆A的标准方程为(x＋1)＋y＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4. 由题设得A(－1，0)，B(1，0)，|AB|＝2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为： 2 2 2 2 2 x2y2 4 ＋＝1(y≠0). 3 (2)解 当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2). y＝k（x－1），??22 2222 由?xy得(4k＋3)x－8kx＋4k－12＝0. ＋＝1??43 8k4k－12则x1＋x2＝2，x1x2＝2， 4k＋34k＋312（k＋1） 所以|MN|＝1＋k|x1－x2|＝. 2 4k＋3 2 2 2 2 1 过点B(1，0)且与l垂直的直线m：y＝－(x－1)，A到m的距离为 2 kk2＋1 ，所以|PQ|＝ 2 ?2?24－?2?＝ ?k＋1? 2 4 4k＋3 . k2＋1 2 故四边形MPNQ的面积 S＝|MN||PQ|＝12121 1＋2. 4k＋3 可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12，83). 当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，四边形MPNQ的面积为12. 综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12，83). 直线与圆锥曲线的位置关系 4 x2y2 1.(20152重庆，10)设双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AFab的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D，若D到直线BC的距离小于a＋a＋b，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( ) A.(－1，0)∪(0，1) B.(－∞，－1)∪(1，＋∞) C.(－2，0)∪(0，2) D.(－∞，－2)∪(2，＋∞) 2 2 b??b??解析 由题意A(a，0)，B?c，?，C?c，－?， a??a?? b2b2 －0aa由双曲线的对称性知D在x轴上，设D(x，0)，由BD⊥AC得2＝－1，解得c－ c－xa－cb4b4b4222b222 x＝2，所以c－x＝2＜a＋a＋b＝a＋c，所以2＜c－a＝b?2＜ a（c－a）a（c－a）aa1?0＜＜1，因此渐近线的斜率取值范围是(－1，0)∪(0，1)，选A. 答案 A 2.(20142辽宁，10)已知点A(－2，3)在抛物线C：y＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为( ) 1A. 23C. 4 2 2 22 ba2B. 34D. 3 解析 ∵A(－2，3)在抛物线y＝2px的准线上，∴－＝－2，∴p＝4，∴y＝8x，设直线 2 ??x＝k（y－3）－22 AB的方程为x＝k(y－3)－2①，将①与y＝8x联立，即?2，得y－8ky＋ ?y＝8x? 2 p2 24k＋16＝0②，则Δ＝(－8k)－4(24k＋16)＝0，即2k－3k－2＝0，解得k＝2或k＝－ ??x＝818－04 (舍去)，将k＝2代入①②解得?，即B(8，8)，又F(2，0)，∴kBF＝＝，故选28－23?y＝8? 22 D. 答案 D x2y2 3.(20152山东，15)平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛 ab物线C2：x＝2py(p＞0)交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________. 5 2