数值分析试题
一、 填空题（20×2′）
1.
?32??2?设x=0.231是精确值x*=0.229的近似值，则x有2位有效数字。A??,X??????21???3?2. 若f(x)=x7－x3＋1，则f[20,21,22,23,24,25,26,27]=1，f[20,21,22,23,24,25,26,27,28]=0。 3. 设，‖A‖∞＝___5____，‖X‖∞＝__3_____，
‖AX‖∞≤_15___。 4. 非线性方程f(x)=0的迭代函数x=?(x)在有解区间满足|?’(x)|<1，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a,b]上的三次样条插值函数S(x)在[a,b]上具有直到2阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的前插公式，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的后插公式；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的拉格朗日插值公式。 7. 拉格朗日插值公式中f(xi)的系数ai(x)的特点是：?ai(x)?1；所以当系数ai(x)满足ai(x)>1，
i?0n计算时不会放大f(xi)的误差。 8. 要使20的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取4位有效数字。 9. 对任意初始向量X(0)及任意向量g，线性方程组的迭代公式x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1,…)收敛于方程组的精确解x*的充分必要条件是?(B)<1。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是5。 x y=f(x) 0 -2 0.5 -1.75 1 -1 1.5 0.25 2 2 2.5 4.25 11. 牛顿下山法的下山条件为|f(xn+1)|<|f(xn)|。
12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差ri(i=0,1,…,n)来实现的，其中的残差ri＝
(bi-ai1x1-ai2x2-…-ainxn)/aii，(i=0,1,…,n)。
13. 在非线性方程f(x)=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f(x)的二阶导
数不变号，则初始点x0的选取依据为f(x0)f”(x0)>0。 14. 使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、选取初值、迭代计算。 二、 判断题（10×1′）
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1、 若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AX＝b一定可以使用高斯消元法求解。(×) 2、 解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的。(?) 3、 若A为n阶方阵，且其元素满足不等式
则解线性方程组AX＝b的高斯——塞德尔迭代法一定收敛。(×) 4、 样条插值一种分段插值。(?)
5、 如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。(?)
6、 从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。 (?)
7、 解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX＝b。(×) 8、 迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步迭代计算的舍入误差。(×) 9、 数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差＝舍入误差。(?) 10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。(×) 三、 计算题（5×10′） 1、用列主元高斯消元法解线性方程组。 解答： （1，5，2）最大元5在第二行，交换第一与第二行： L21=1/5=0.2,l31=2/5=0.4方程化为： （-0.2,2.6）最大元在第三行，交换第二与第三行： L32=-0.2/2.6=-0.076923,方程化为： 回代得：?x1?3.00005 ??x2?5.99999? x??1.00010?32、用牛顿——埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式P4(x)，并写出其截断误差的表达式(设f(x)在插值区间上具有直到五阶连续导数)。 xi f(xi) 0 1 1 -1 2 3 -来源网络，仅供个人学习参考
f’(xi) 解答： 做差商表 xi F(xi) F[xi,xi+1] F[xi.xi+1.xi+2] 0 1 1 2 2 1 -1 -1 3 3 F[xi,xi+1,xi+2,xi+3] F[xi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4] 1 5 -2 1 4 5 3 3 1 0 -2 -1 P4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2) R4(x)=f(5)(?)/5!x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2) 3、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法的迭代公式，并简单说明收敛的理由。 解答： 交换第二和第四个方程，使系数矩阵为严格对角占优： ?2x1? x2? 雅克比迭代公式： x4?1? ?x?3x? x ?3?123《计算机数学基础(2)》数值分析试题 ? x?4x? x4?823?? x3?5x4(?6?x1 ?一、单项选择题每小题3分，共15分)
1.已知准确值x*与其有t位有效数字的近似值x＝0.0a1a2…an×10s(a1?0)的绝
对误差?x*－x??()．
(A)0.5×10s
－1－t
(B)0.5×10st(C)0.5×10s
－
＋1－t
(D)0.5×10st
＋
2.以下矩阵是严格对角占优矩阵的为()．
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