第六章 全同粒子体系
§6.1 电子自旋及其描述 1. 电子自旋的发现
Stern-Gerlach实验：测量氢原子的磁矩。
?? 经典理论的预言是?M?Mz?M，连续变化。实验结果是：
Mz??MB. MB?e?(Bohr磁子) 2me结论：电子有磁矩，其投影是量子化的。推论：电子有自旋（内禀角动量），其投影也是量子化的。
Uhlenbeck-Goudsmit假设(1925)：电子有自旋角动量，其投影只能取两个值：
?Sz??,
2这自旋角动量又导致电子有自旋磁矩，其投影为
Mz??ee?Sz????MB. (SI制) me2me????写成矢量关系，自旋角动量算符记为S，自旋磁矩算符记为Ms，则
??e?Ms??S.
me?2. 电子自旋的描述
自旋有纯量子力学的起源，只能用矩阵描写。自旋的分量只有两个可能的测量值，所以算符
?是对角矩阵，这些矩阵是： ?,S?,S?都是2?2矩阵。通常选SSzxyz01???????S,x??2?10?引入Pauli矩阵
0?i???????S,y??2?i0??0?i??,0??10???????S. z??2?0?1??10??x???10??,??则
?01??y???i???z???0?1??.
?????S??.
2Pauli矩阵的主要性质是：
?x?y???y?x?i?z, 和x?y?z?x的轮换
222?x??y??z?I, I是2?2单位矩阵
?的对应于本征值?显然，Sz?的本征矢量是： 2
?Sz??,2?Sz??,2?1?v????0??,
???0?v????1??.
??3. 带有自旋的电子波函数
现在电子的波函数还应该同时描写它的自旋状态。由叠加原理，
?(r,t)??1(r,t)?v???2(r,t)?v?
?????(r?1,t)???????(r?, ,t)?2?这称为电子的二分量波函数，又称为旋量。对于这种波函数，原先的公式需要稍加修正。记
??(r,t)??1(r,t),?2(r,t),
那么，(1)归一化是：
?????d????1??2????????22??d??1.
(2)空间几率密度是：
?22w(r,t)??????1??2.
(3)自旋状态的几率是：
2???W??????1?d?,?2?2???W??????2?d?. ?2? (4)算符的平均值是：
???d?, G????G??是2?2矩阵而且矩阵元是与?rG,?i???有关的算符。
一类特殊的二分量波函数是自旋和轨道非耦合的状态：
?a????(r,t)??0(r,t)???b??, ?0只是复函数
????0?d??1,
a?b?1.
§6.2 角动量的合成
我们在很多情况下会遇到角动量合成(相加)的问题。 1. 一般的角动量
设J是一个角动量，那么它的一般性质是：
222??
?,J?]?i?J?, 和x?y?z?x的轮换. [Jxyz由此不难证明：
?2,J?]?0,[Ji2?2?J?2?J?2?J?2,Jxyzi?x,y,z.
?和J?的同时本征态。可以证明，从上面的对易关系出发，我们可以所以，角动量的本征态是Jz?和J?的本征值如下： 得到Jz2?2的本征值是j(j?1)?2, j?0,1,1,3,? J22?的本征值是m?, m?j,j?1,?,?j. Jz它们的同时本征态记为j,m，即
?2j,m?j(j?1)?2j,m, J?j,m?m?j,m. Jz我们看到，以上的本征值系列既包括了轨道角动量的(j?0,1,2,?)，也包括了自旋的(j?1/2)。 2. 角动量合成的一般规则
????设J1和J2是两个互相独立的角动量，这意思是说，它们的分量分别满足上面的对易关系，
而它们互相之间是对易的：
?J?,J???0,1i2ki,k?x,y,z.
????J1和J2的矢量和记为
????????J??J?,?. J?J1?J2, 即是Jx1x2x??那么首先，J仍然是角动量，即它的分量也满足上面的对易关系。其次，我们可以构造?2,J?,J?2,J?2的同时本征态，它们的本征值之间满足下面的关系： Jz12j?j1?j2,j1?j2?1,?,j1?j2,
或 j1?j2?j?j1?j2.
这个合成法则是量子力学中的重要法则。在直观上，这是矢量相加的三角形法则的结果，因为三角形的三条边a,b,c必然满足关系
b?c?a?b?c.
所以上述关系又称为三角形关系。