?X1??1??1???????X1v2?????t???1?vsinpt3?X3??1?2??1?2p32k??????p3?m. ?1?即?X4??1?， 其中，
000??4.000?0??0.41400T?MP?AMA?m??004.0000???00013.657??
4-3 试确定题4-2的系统对作用于质量m1和质量m4上的阶跃力p1?p4?p的响应。
4-4 如图4-4所示，已知机器质量为m1=90kg，吸振器质量为m2=2.25kg，若机器上有一偏心质量m??0.5kg，偏心距e=1cm，机器转速n=1800r/m。试问：
（1）吸振器的弹簧刚度k2多大，才能使机器振幅为零？
（2）此时吸振器的振幅B2为多大？
（3）若使吸振器的振幅B2不超过2mm，应如何改变吸振器的参数？
图4-4
第六章 弹性体系统的振动
6.1 一等直杆沿纵向以速度v向右运动，求下列情况中杆的自由振动： （1）杆的左端突然固定； （2）杆的右端突然固定； （3）杆的中点突然固定。
图6-1
解；(1)杆的左端突然固定；
杆的初始条件为：u?x,0??u0?x??0 u?x,0??V 有题可知
lpi?i?i?a,i?1,3,5ui?x??Disinx,i?1,3,52l2l
222i?i?x??D?ux?sinx???ADsindx?1iii??0??Al?Al2l2l???得
li??i?0????AVDisinxdx??0??002l ，i
2l??AVDii?
?i?0??i?sinpitpi所以有：进而有：
i?x2l2l8Vl?1i?xi?au?x,t???ui?i?t???Disin?AVDisinpit?2?2sinsint2li?i?a?ai2l2li?1,3,5i?1,3,5i?1,3,5??%ui全部改成：Ui
~
图6-2
P0的l作用，
试求分布力突然移去时杆的自由振动响应；（2）若杆上作用的轴向均匀分布干扰
P力为0sin?t，试求杆的稳态强迫振动。
lpx??0EA 解：t-=0时的应变为
6-2 图6-2所示一端固定一端自由的等直杆，（1）若受到均匀分布力p(x)?杆的初始条件为
u0(x)??.x0p0yp0x2ydy?EA2EA
一端自由一端固定，可知杆的因有频率和主振型为
u0(x)?0将主振型代入上式归一化为
i?a(i?1,3,5......)2li?Ui(x)?Disinx(i?1,3,5......)2l pi??l0?A(Disin2?Ali?2x)dx?12lDi?
以正则坐标表示初始条件为
?p0i?8l3sini?2?i(0)???Au0(x)Disinxdx?Di22(?)02l2Ei?2i?l?i(0)?0(i?1,3,5......).
?p02EDi以正则坐标表示对初始条件的响应为 于是杆的自由振动为
8li?2(sin?)i2?22i?
3?i??i(0)cospit
?~i?x?p08l3sini?2u(x,t)??Ui?i(t)??Disin?Di22(?)2l2Ei?2i?i?1,3,5...i?1,3,5...?16p0l2?3πEA
i?1,3,???1iπxiπasincost3i2l2l
杆左端固定端，右端为自由端
16F0l?1iπxiπau(x,t)?3?3sincost?2l2l πEAi?1,3,?i边界条件
u?x,t??U(x)(Acospt?Bsinpt)
pxpxU(x)?Ccos?Dsinaa
dUU(0)?0 dxpi??0x?l得固有频率，主振型
(2i?1)?(2i?1)?Ui(x)?Disinxa2l2l i=1,2,……
u(x,t)?i?1,3,????sin杆在x处的应变
i?xi?ai?a(Aicost?Bisint)2l2l2l
F0xxl?0??dx0EA
2Fx?0 2EAl
初始条件
?F0x3?u(x,0)?u0(x)??0x?2EAl????u(x,0)?u0(x)?0 ?
由u(x,0)?u0(x)?0得 Bi?0
???u(x,t)?l
再利用三角函数正交性
i?1,3,???sini?xi?aAicost2l2l
li?xi?x)dx???0xsindx002l2l 3lFxi?x0??sindx02EAl2l
16FlAi?330i?EA 得
Ai??sin2(u(x,t)?
i?xi?aAcost?i2l2l i?1,3,???16F0l1i?xi?a?33sincost?32l2l i?EAi?1,3,??i?sin(2) 解：
因为杆是一端固定，可得固有频率和主振型为
Pi?ia?2li?x2l?i?1,3,5?????i?1,3,5????2
将主振型代入归一化条件，得
lUi?x??Disin
i???ADsini?0?2l?
得到正则振型
?x?dx?1?
Di?2?Al
又第i个正则方程为
Ui?x??~2i?sinx?Al2ll?i?1,3,5????
?i?pi2?i??q?x,t?Uidx0F0i?sin?tsinxdx0l2l 2DiF0?sin?t?1,3,5????i?
??l
所以可得正则坐标的稳态响应为
?i?t??
杆的稳态响应振动为
2DiF0sin?t22?pi???i??~
u?x,t???i?1,2,????U??t???ii??Ui?i?t?~i?1,3,5,???
其中
4F0sin?t1i?sinx??Al?i?1,3,5???i?pi2??2?2l
pi?i?aE,a?2l?。
6-3试写出图6-3所示系统的纵向振动频率方程，并写出主振型的正交性表达式。
?uEA?x解：边界条件为：U(0)?0,
U(x)?Ccosppx?Dsinxaau(x,t)?U(x)(Acospt?Bsinpt)
?2u??m2x?l?t?ku(x,t)x?l
?upp?Dcosx(Acospt?Bsinpt)aa由U(0)?0,得C?0，?x
?2up2??Dpsinx(Acospt?Bsinpt)2?ta
ppppEADcosl?mDp2sinl?kDsinlaaaa 由条件（2）得