专题07 导数及其应用
1．函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象的大致形状是( )
解析：由f(x)图象先降再升后趋于平稳知，f′(x)的函数值先为负，再为正，后为零．故选D. 答案：D
2．曲线y＝e在点(4，e)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) 92A.e 2C．2e
x12
x22
B．4e D．e
2
2
11?4121222
解析：∵y′＝e2，∴k＝e2＝e，∴切线方程为y－e＝e(x－4)，令x＝0，得y＝－e，令y＝0，
2222122
得x＝2，∴所求面积为S＝×2×|－e|＝e.
2答案：D
3．已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x)，且满足f(1)＝0，当x>0时，xf′(x)<2f(x)，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( ) A． (－∞，－1)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)
答案：D
13?b?24．若函数f(x)＝x－?1＋?x＋2bx在区间[－3,1]上不是单调函数，则函数f(x)在R上的极小值为( )
3?2?4
A．2b－ 3
32B．b－ 23
C．0
132
D．b－b
6
5．函数f(x)＝2x－ln x的单调递增区间是________．
11
解析：函数f(x)＝2x－ln x的定义域为(0，＋∞)，由f′(x)＝2－≥0，解得x≥，所以函数f(x)＝2xx2
?1?－ln x的单调递增区间为?，＋∞?.
?2??1?答案：?，＋∞?
?2?
6．已知f(x)＝axln x＋1(a∈R)，x∈(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，f′(1)＝2，则a＝________. 解析：∵f′(x)＝aln x＋a，∴f′(1)＝a＝2. 答案：2
7．已知函数f(x)＝(λx＋1)ln x－x＋1. (1)若λ＝0，求f(x)的最大值；
(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋y＋1＝0垂直，证明：解析：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)， 当λ＝0时，f(x)＝ln x－x＋1.
1
则f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，解得x＝1.
fx>0. x－1
x当0
λx＋1
(2)证明：由题可得，f′(x)＝λln x＋－1.
x由题设条件，得f′(1)＝1，即λ＝1. ∴f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1.
由(1)知，ln x－x＋1<0(x>0，且x≠1)．
当0 fx>0. x－1 f?11?当x>1时，f(x)＝ln x＋(xln x－x＋1)＝ln x－x?ln －＋1?>0，∴ x? xx? x－1 >0. 综上可知， fx>0. x－1 x2 8．已知函数f(x)＝x－＋a(2－ln x)(a>0)，求函数f(x)的单调区间与极值点． ③当Δ＝a－8>0，即a>22时，方程g(x)＝0有两个不同的实数根x1＝当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： 2 a－a2－8 2 ，x2＝ a＋a2－8 2 ，0 x (0，x1) x1 0 (x1，x2) － x2 0 (x2，＋∞) ＋ f′(x) ＋ f(x) 此时f(x)在 (0， f(x1) 2 ，f(x2) 2a－a2－82)上是增加的，在(a－a2－8a＋a2－8a＋a2－8 2 )上是减少的，在( a＋a2－8 2 ，＋∞) 上是增加的．x1＝ a－a2－8 2 是函数的极大值点，x2＝是函数的极小值点． 12 9．已知函数f(x)＝x－2aln x＋(a－2)x，a∈R. 2 (1)当a＝1时，求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程． (2)是否存在实数a，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2有的取值范围；若不存在，说明理由． 122ax－ 解析：(1)函数f(x)＝x－2aln x＋(a－2)x，f′(x)＝x－＋(a－2)＝ 2x时，f′(x)＝＝0. (2)假设存在这样的实数a满足条件，不妨设0 fx2－fx1 >a恒成立？若存在，求出ax2－x1 x＋ax(x>0)．当a＝1 x－ xx＋ ，f′(1)＝－2，则所求的切线方程为y－f(1)＝－2(x－1)，即4x＋2y－3 fx2－fx1 >a知f(x2)－ax2>f(x1)－ax1成立， x2－x1