全国卷理科数学高三一轮复习资料、强化训练、复习补习资料-68总复习:椭圆及其性质(基础)

椭圆

【考纲要求】

1.了解椭圆图形的实际背景及形成过程;

2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质; 3.掌握椭圆的简单应用;

4.理解解析几何中数形结合思想的运用. 【知识网络】

椭圆的实际背景及定义

椭圆

标准方程及简单性质 数形结合思想

【考点梳理】

考点一、椭圆的定义

F2的距离之和等于常数(PF平面内一个动点P到两个定点F1、这个动点P1?PF2?2a?F1F2),

的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距.

要点诠释:

(1)若PF1?PF2?FFF1?PF2?FF1F2;若P12,则动点P的轨迹为线段F12,则动点P的轨迹无图形.

(2)确定一个椭圆的标准方程需要三个条件:两个定形条件a、b,一个定位条件焦点坐标,由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。

考点二、椭圆的标准方程

x2y2(1)当焦点在x轴上时,椭圆的标准方程:2?2?1(a?b?0),其中c2?a2?b2;

aby2x2(2)当焦点在y轴上时,椭圆的标准方程:2?2?1(a?b?0),其中c2?a2?b2;

ab要点诠释:

(1)只有当椭圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆的标准方程; (2)在椭圆的两种标准方程中,都有a?b?0和c2?a2?b2;

(3)椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x轴上时,椭圆的焦点坐标为(c,0),(?c,0);当焦点在y轴上时,椭圆的焦点坐标为(0,c),(0,?c).

考点三、椭圆的简单几何性质

1

x2y2椭圆2?2?1(a?b?0)的的简单几何性质

ab(1)范围:{x?a?x?a},{y?b?y?b},

(2)焦点(?c,0),顶点(?a,0)、(0,?b),长轴长=2a,短轴长=2b,焦距=2c, (3)离心率是e?c且0?e?1; ay2x2椭圆2?2?1(a?b?0)的的简单几何性质

ab(1)范围:{y?a?y?a},{x?b?x?b},

(2)焦点(0,?c),顶点(0,?a)、(?b,0),长轴长=2a,短轴长=2b,焦距=2c, (3)离心率是e?c且0?e?1. a考点四、椭圆图像中线段的几何特征

x2y2椭圆2?2?1的图像如图所示

ab

2a2|PF1||PF2|??e,|PM1|?|PM2|?(1)PF; 1?PF2?2a,

|PM1||PM2|c(2)BF1B?1?BF2?a,OF1?OF2?c,A2B?Aa2?b2;

(3)A1?a?c; 1F1?A2F2?a?c,A1F2?A2F1?a?c,a?c?PF(4)?PF1F2中常利用余弦定理、三角形面积公式: ............

S?PF1F2??FPF1PF1?PF2sin?F1PF?b2tan12, 22将有关线段PF有关角?F1PF2(?F1PF2??F1BF2)结合起来,建立PF1、PF2、F1F2,1?PF2、

PF1?PF2的关系.

x2y2y2x2考点五、椭圆2?2?1与2?2?1(a>b>0)的区别和联系

abab2

标准方程 x2y2?2?1(a?b?0) 2abx2y2?2?1(a?b?0) 2ba图形 焦点 焦距 范围 对称性 性质 顶点 轴 离心率 F1(?c,0),F2(c,0) F1(0,?c),F2(0,c) |F1F2|?2c(c?a2?b2) |x|?a,|y|?b |F1F2|?2c(c?a2?b2) |x|?b,|y|?a 关于x轴、y轴和原点对称 (?a,0),(0,?b) (0,?a),(?b,0) 长轴长=2a,短轴长=2b e?c(0?e?1) a准线方程* a2x?? c|PF1|?a?ex,|PF2|?a?ex a2y?? c|PF1|?a?ey,|PF2|?a?ey 焦半径*

要点诠释:

x2y2y2x2椭圆2?2?1,2?2?1(a>b>0)的相同点为形状、大小都相同,参数间的关系都有a>b

abab>0和e?c(0?e?1),a2=b2+c2;不同点为两种椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不相同。 a【典型例题】

类型一:求椭圆的标准方程

例1. 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0),椭圆上一点P到两焦点距离的和是10; (2)两个焦点的坐标是(0,-2)、(0,2),并且椭圆经过点(?,)。 【思路点拨】结合椭圆的标准方程,用待定系数法。

3522x2y2【解析】(1)∵椭圆的焦点在x轴上,∴设它的标准方程为2?2?1(a?b?0)。

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