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工程数学 概率统计简明教程（第二版）
独立使用，则求有效寿命U?max(X,Y)的密度函数.
18. 设随机变量X，Y相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，记Z是以X，Y为边长的矩形的面积，求Z的密度函数.
*19. 设随机变量X，Y相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，求Z?密度函数.
（提示：使用FZ(z)?P(Z?z)?P(Z?zY?y)fY(y)dy?X与Y的独立性.）
X的Y??P(X?yz)dy，其中用到
01习题七
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习题七
1. 设随机变量X的分布律为
X -1 0 1 21 621 2 概率 1 31 6112 1 4求：（1）E(X);（2）E(?X?1);（3）E(X);（4）D(X).
2. 设随机变量X服从参数为?的泊松分布（??0），且已知E((X?2)(X?3))?2，求?的值.
3. 设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，试求X2的数学期望E(X2).
4. 国际市场每年对我国某种出口商品的需求量X是一个随机变量.它在[2 000，4 000]（单位：吨）上服从均匀分布.若每售出一吨，可得外汇3万美元，若销售不出而积压，则每吨需保养费1万美元.问应组织多少货源，才能使平均收益最大？
5. 一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率相应为0.1，0.2，0.3.假设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，试求X的数学期望E(X)和方差D(X).
6. 设随机变量X有分布律:
pk?P(X?k)?pqk?1(k?1,2,?),
其中0?p?1,q?1?p，称X服从具有参数p的几何分布，求E(X)和D(X).（提示：
??1?2???由幂级数逐项求导的性质可知?kqk?1???qk????,
1?qk?1?k?0????3?????1??k??q?q?2??) ????1?q??k?0????1?q???k(k?1)qk?1?k?2?
127. 设随机变量X的密度函数为f(x)?e?x，求:（1）E(X);（2）E(X)的值.
2?2(1?x),0?x?1,8. 某商店经销商品的利润率X的密度函数为f(x)??求E(X)，
0,其他,?D(X).
9. 设随机变量X服从参数为?的泊松分布，求E(X?1).
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10. 设随机变量X服从参数为p的几何分布，求E(Y). M?0为整数，Y?max(X,M)，*11. 设随机变量X有分布律：
?M??N?M?????k??n?k??pk?P(X?k)?,k?0,1,2,?,n?M，其中n?M?min(n,M). ?N????n???n?n?n?1?n(n?1)?n?2???提示:使用????????.?
mm?1m?2mm(m?1)????????*12. 将已写好n封信的信纸随机地装入已写好的n个收信人的对应地址的信封，若有
一封信的信纸的收信人与信封一致时，称之为有一个配对.今X为n封已随机装好的信的配对数，求E(X),D(X).
n??1,第i封信配对,(i?1,2,?,n),有X??Xi,先求E(Xi),E(XiXj)??提示:记Xi??0,其他i?1??及cov(Xi,Xj),使用公式D(X)=?D(Xi)?2?i=1i?1nn?1?cov(X,X).?1j?j?j?1?n
?e1?x,x?0,13. 设随机变量X的概率密度为f(x)??求E(X)，E(2X)，E(X?e?2X)，
?0,x?0,D(X).
14. 设随机向量(X,Y)的联合分布律为:
Y X 0 1 0 0.3 0.4 1 0.2 0.1 求E(X),E(Y),E(X?2Y),E(3XY),D(X),D(Y),cov(X,Y),?X,Y.
15. 盒中有3个白球和2个黑球，从中随机抽取2个，X，Y分别是抽到的2个球中的白球数和黑球数，求X与Y之间的相关系数?X,Y.
16. 设随机变量X,Y相互独立，它们的密度函数分别为?2e?2x,x?0,?4e?4y,y?0,fX(x)??fY(y)??求D(X?Y).
,x?0,,y?0,00??*17. 设随机变量X1,?,Xn独立，具有公共的（0，1）上的均匀分布，令Y?minXi,1?i?n求E(Y),D(Y).
习题七
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?????1??xxe,?*18. 设随机变量X有密度函数f(x)???(?)?0,?x?0,，（??0，??0为常数）其他则称X服从具有参数的伽玛分布，记为X~?（?，?），其中?(?)=（?，?）??0y??1e?ydy.
有性质：对任意实数x，有?(x?1)?x?(x)，特别对正整数n有?(n?1)?n!.今设
Y~?(?1,?)，Z~?(?2,?)，且Y与Z相互独立，W???Z??1??提示:使用独立性,有E(W)?E?E(Z)E????.? ??Y??Y???Z，求E(W) Y*19. 设随机变量X服从参数为（a，b）的贝搭分布，即有密度
??(a?b)a?1x(1?x)b?1,0?x?1,?f(x)???(a)?(b)求E(X),D(X).[提示：已知贝搭函数
?0,其他,?1??(?)?(?)???1??1提示:已知贝搭函数?(?,?)?t(1?t)dt,有关系式?(?,?)=.? ??0?(?+?)??????20. 验证：当(X,Y)为二维连续型随机变量时，按公式E(X)??公式E(X)??布密度，即
证明：E(X)??????????xf(x,y)dydx及按
xf(x)dx算得的E(X)值相等.这里，f(x,y),f(x)依次表示(X,Y),X的分
??????????xf(x,y)dydx??xf(x)dx
????21. 设二维随机变量(X,Y)服从在A上的均匀分布，其中A为x轴，y轴及直线x+y+1=0所围成的区域，求：（1）E(X);（2）E(?3X?2Y);（3）E(XY)的值.
?12y2,0?y?x?1,22. 设随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)??求E(X)，E(Y)， 0,其他.?E(XY)，E(X2?Y2)，D(X)，D(Y).
23. 设随机变量X,Y相互独立，且E(X)?E(Y?)，1D(X)?2，D(Y)?3.求：（1）E(X),E(Y)；（2）D(XY).
24. 袋中有2个外形完全相同的球，其中??个标有数字k（k=0，1，?，n），从中不放回抽取m次（每次取1个），以X表示取到的m个球上的数字之和，求E（X）.
n22?n??k?20
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（提示：记Xi=第i次抽到的球上的数字，则X??X,E(X)??E(X).）
iii?1i?1mm25. 设D(X)?25，D(Y)?36，?(X,Y)?0.4，求：（1）D(X?Y);（2）D(X?Y). 26. 设随机变量X,Y相互独立，且X~N(1,1)，Y~N(?2,1)，求
E(2X?Y),D(2X?Y).
27. 设随机变量X的方差为2.5，利用切比雪夫不等式估计P(X?E(X)?7.5)的值. 28. 设随机变量X和Y的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，而相关系数为-0.5，根据切比雪夫不等式估计P(X?Y?6)的值.
29. 在次品率为
1的一大批产品中，任意抽取300件产品，利用中心极限定理计算抽取6的产品中次品件数在40与60之间的概率.
30. 有一批钢材，其中80%的长度不小于3 m.现从钢材中随机取出100根，试用中心极限定理求小于3 m的钢材不超过30根的概率.
31. 有3 000个同龄的人参加某保险公司的人寿保险，保险期限为1年.假设在1年内每人的死亡率为0.1％，参加保险的人在投保日须交付保费10元，被保险人在保险期间死亡时家属可以从保险公司领取2 000元.试用中心极限定理求保险公司亏本的概率.
32. 某种电器有100个独立的电源可供使用.每个电源的寿命服从均值为10 h的指数分布，求这个电器的使用总寿命大于1 200 h的概率.
1?x?,0?x?1,?33. 设随机变量X的概率密度为f(x)??求X的中位数. 2其他,??0,